Высшая математика

Министерство образования Российской Федерации

Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова

В. П. Зайцев, И. Э. Головичёва, С. А. Зинович

М А Т Е М А Т И К А

Часть 1

Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Учебное пособие

Барнаул 2003

2.2Векторное произведение векторов………………………………………..64

2.2.1Основные свойства векторного произведения…………………… ..

64

2.2.2Вычисление векторного произведения в координатной форме……65

2.2.3Приложения векторного произведения…………………………… 65

2.3Смешанное произведение векторов………………………………………67

2.3.1Основные свойства смешанного произведения…………………67

2.3.2Вычисление смешанного произведения в координатной форме….68

2.3.3Приложения смешанного произведения…………………………….69

3.Задачи

3.1Задачи с решениями ……………………………………………………….70

3.2Задачи для самостоятельного решения …………………………………..74

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1.Аналитическая геометрия на плоскости

1.1Линии и их уравнения……………………………………………………..78

1.1.1Уравнение линии в декартовой системе координат……………… 78

1.1.2Уравнение линии в полярной системе координат………………… 79

1.1.3Параметрические уравнения линии………………………………… 82

1.2Прямая линия………………………………………………………………83

1.2.1Уравнение пря-

мой………………………………….………………….83

1.2.2Расстояние от точки до прямой…………………..………………… 87

1.2.3Взаимное расположение двух прямых………………………………88

1.3Линии второго порядка……………………………………………………90

1.3.1Эллипс………………………………………………………………….90

1.3.2 Гипербо-

ла………………………………………………………………93

1.3.3 Парабола………………………………………………………………..95

1.4Преобразование декартовой системы координат на плоскости……… 97

1.4.1Параллельный перенос системы коорди-

нат…………………………97

1.4.2Поворот системы координат…………………………………………97

1.5Исследование общего уравнения линии второго порядка ……………..99

2.Аналитическая геометрия в пространстве

2.1 Уравнение поверхности и уравнения линии.

…………………………..102 2.2 Плоскость

…………………………………………………………………104

2.2.1Уравнение плоскости………………………………………………. 104

2.2.2Расстояние от точки до плоскости………………………………….107

4

2.2.3Взаимное расположение плоскостей……………………………….108

2.3Прямая линия в пространстве ………………………………………… .109

2.3.1 Уравнения пря-

мой……………………………………………………109

2.3.2Взаимное расположение пря-

мых……………………………………112

2.3.3Взаимное расположение прямой и плоскости…………………… 114

2.4Поверхности второго порядка………………………………………… 117

2.4.1Цилиндрические поверхности………………………………………117

2.4.2Поверхности вращения…………………………………………… . 119

2.4.3Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка…………… 122

2.4.4Метод сечений при исследовании формы поверхностей…………123

3.Задачи

3.1Задачи с решениями …………………………………………………… .125

3.2Задачи для самостоятельного решения ……………………………… . 134

Ответы к задачам для самостоятельного решения ……………… . 138

Контрольные вопросы……………………………………………………… 141

Список рекомендуемой литературы…………………………………… 144

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

• – начало и окончание решения примеров и задач. x X – элемент x принадлежит множеству X.

x X – элемент x не принадлежит множеству X.

X Y – множество X есть подмножество множества Y. X = – множество X пусто.

X UY , X IY , X \ Y – объединение, пересечение, разность множеств X и Y. X ={x : P( x )} – множество X из элементов x, обладающих свойством P(x).

N, Z, Q, R – множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел соответственно.

|x| – модуль (абсолютное значение) числа x. A B – из высказывания A следует B.

A B – высказывания А и B равносильны.

: – утверждение справедливо по определению.

x : A(x) – существует такое x, что для него верно высказывание A(x).

! x : A(x) – существует единственное x, такое, что для него верно высказывание A(x).

x A(x) – для любого x верно высказывание A(x).

5

A = ( aij )m×n – матрица А с элементами aij ( i = 1, K ,m, j = 1, K ,n ). |A| , det A – определитель матрицы А.

( r, ϕ ) – полярные координаты точки.

6

ство А = В означает, что А и В – матрицы одинакового размера и i , j aij = bij . Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

Дадим некоторые понятия для квадратной матрицы ( aij )n×n .

Матрица первого порядка ( aij )1×1 совпадает с её единственным элементом.

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ a11 a22 Kann

матрицы, идущая из левого верхнего угла к правому нижнему углу.

Побочной диагональю называется диагональan1 a( n−1 )2 Ka1n , идущая из ле-

вого нижнего угла в правый верхний угол.

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной),

если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю (над главной диагональю).

Если все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют диагональной.

Если у диагональной матрицы все элементы на главной диагонали равны единице, то матрицу называют единичной.

Пусть даны матрицы:

то полученная матрица называется транспонированной к матрице A и обозначается

AТ, т.е. AТ= (a ji )n×m .

8

1.1.2 Линейные операции над матрицами

На множестве матриц данного размера вполне естественным способом определяются линейные операции: умножение матрицы на число и сложение матриц.

Произведением λ A матрицы A = ( aij ) на числоλ называется матрица B = ( bij ) , элементы которой равны произведениям соответствующих элементов

вается матрица C = ( cij ) того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В: i , j cij = aij + bij .

Очевидным образом определяется разность матриц А и В: А – В = А + (–

В).

Непосредственно из определения линейных операций следуют их свойства:

1)А + В = В + А (переместительное свойство);

2)(А + В) + С = А + (В + С) (сочетательное свойство);

3)λ ( A + B ) = λ A + λ B (распределительное свойство).

1.1.3 Умножение матриц

При умножении матриц размеры матриц–сомножителей должны быть согласо-

ваны: число столбцов первого сомножителя должно равняться числу строк вто-

рого, в противном случае умножение невозможно. Пусть это условие выполнено: даны матрицы A = ( aij )m×n и B = ( bij )n×k .

Произведением А B матрицы A = ( aij )m×n на матрицу B = ( bij )n×k назы-

вается матрица C = ( cij )m×k , элементы cij которой определяются формулой:

9

Таким образом, чтобы получить элемент cij , стоящий на пересечении i - й

строки и j - го столбца, необходимо составить сумму парных произведений элементов

i - й строки первой матрицы на элементы j - го столбца второй матрицы:

Отметим, что число строк матрицы C = А B равно числу строк первой матрицы А, а число столбцов – числу столбцов второй матрицы В.

Замечание. Умножение матриц, в общем случае, не перестановочно, т.е.

А B ≠ B А.

Прежде всего, если определено произведение А B , то ещё не значит, что имеет смысл произведение B А. Так, в разобранном примере 3 перестановка сомножителей, т.е. умножение В на А, невозможна. Но даже если определены оба произведения А B и B А, то может оказаться, что А B ≠ B А.

10