Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

uuuur

uuur uuuur

uuuur

Так как CM

= CA + AM

= a

( b

−a )

( 2a

+ b ).

•

2. Найти

разложение

вектора

ar ={2; 1}по

векторам br ={−1; 1}и

cr ={1; 2}.

• Разложение имеет вид ar =α b + β cr. Коэффициенты α и β в разложении

нужно найти. Векторное равенство равносильно двум скалярным равенствам (равенствам соответствующих координат):

2 = −1 α + 1 β ,1 = 1 α + 2 β.

Решим эту линейную систему, например, по формулам Крамера:

∆ =	−1	1	= −3,	∆1 =	2	1	= 3,	∆ 2 =	−1 2		= −3,
∆ =	−1	1	= −3,	∆1 =	2	1	= 3,	∆ 2 =	−1 2		= −3,
	1	2			1	2			1	1

α =

∆1

= −1,

∆ 2

−3

= 1.

∆

−3

∆

−3

•

Таким образом, искомое разложение: a

= −b + c .

Даны векторы c

= a + 2b , c

= 3a

− b , a ={1; 0;

Будут ли векторы c1 и c2 коллинеарными?

•

Вычислим координаты векторов c1 и c2 :

{1 + 2( −2 ); 0 + 2 3; 1 + 2 5} ={−3;

cr2 ={3 1 − ( −2 ); 3 0 − 3; 3 1 − 5} ={5;

1}, br ={−2; 3; 5}.

6; 11}, − 3; − 2}.

Проверим пропорциональность координат: −3

≠

−3

Вывод: векторы c1 и c2

−3

– неколлинеарные.

•

Для вектора ar = −3i + rj + 2kr

найти длину и направляющие косинусы.

•

= ax2 + a2y + ax2 = ( −3 )2 + 12 + 22 = 9 + 1 + 4 = 14 ,

cosα =

−3

, cos β =

, cosγ

•

Дано:

= 1,

= 2,

r r

a = p − 2q , b

= 3 p − q ,

( p,q ) = 60o .

;

Найти: a

b ;

; ПРra ;

ПРrb ;

( a , b ) ;

× b

•

r r

b = ( p − 2q ) ( 3 p −q )

3 p

p −

q + 2q q =

−7 p q

= 3

−7

= 3 12 −7 1 2

cos60o + 2 22 = 4 ;

cos ( p,q ) + 2

r r

( p − 2q )

p p −

4 p

12 − 4 1 2 cos60o + 4 22

13 ;

r r

= 7 ;

( 3 p

− q )

− 6 p

ar b

ПРbra

;

ПРarb

;

ar b

cos ( a ,b ) =

;

( a ,b ) = arccos

;

r r

×b

( p − 2q )×( 3 p

− q )

3 p

× p

− 6q

× p

− p ×q

×q

r r

6 p ×q

−

p ×q

5 p

×q

= 5

sin ( p,q ) = 5

1 2

= 5

3 . •

Дано:

ar ={2; y; 1},

=7 ,

( OY ,ar ) – острый. Найти y.

•

= ax2 + a2y + az2 22

+ y2 + 12 =7 y2 + 5 = 49 y2 = 44

y = ±2

11 .

Так как ( OY ,a ) – острый, то y > 0.

Поэтому

y = 2

11 .

•

Даны векторы:

ar ={−1; λ; 5}, b ={−3; 4; 15}, cr ={−1; 2; 0}, dr ={3; 1; 3}.

При каких значениях λ будут выполняться условия:

а)

b ;

б) ar b ;

в)

ar,cr,d

– компланарные?

−1

•

а)

a || b

λ =

;

−3

б) ar b axbx + ayby + azbz = 0 −1 ( −3 ) + λ 4 + 5 15 = 04λ +79 = 0 λ = −19,75 ;

r r

−1

–

компланарные

−1

= 0

в) a , c ,d

( a ,c ,d ) = 0

−6 − 5 − 30 + 3λ = 0 λ =

•

b ,

={1; 2; − 3},

8. Найти вектор n , если n a ,

= 10, a

b ={0; 1; 1}, тройка a ,b ,n – левая.

r r

i rj kr

2 −3

1 −3

1 2

r r r

• Найдём c = a ×b

−3

= i

− j

+ k

= 5i

−

j + k .

r r

По определению векторного произведения

– правая

c a , c b

и a ,b ,c

тройка векторов. Поэтому, n

↑↓ c n = λc , λ < 0. Ясно, что

52 + (

−1 )2 + 1 10 =

10 =

3 3

10 r

{5;

− 1; 1}. •

Нужно взять λ = −

. Таким образом,

= −

3 3

Даны координаты точек А1(1; –2; 1),

А2(0; –2; 5),

А3(–1; –1; 1),

А4(1; 0; –3). Найти:

а) длины рёбер А1А2 ,

А1А3 ,

А1А4 ;

б) угол между рёбрами А1А2

и А1А4 ;

в) площадь грани А1А2А4 ;

г) объём пирамиды А1А2А3А4 .

•

а) Рассмотрим вначале векторы, а затем их длины:

uuuuur

={0−1; −2−(−2);5

uuuuuur

−1; −1−(−2);1−1} ={−2;1;0} ,

A1A2

−1} ={−1;0; 4} , A1A3 ={−1

uuuuuur				uuuuuur		= (−1)2 +02 +42 = 17 ,
A A		={1−1; 0 −(−2); −3−1} ={0; 2; −4} , A A = A A
1	4	1	2	1	2

A A =

uuuuuur

= (

−2 )2 +12 +02 =

5 , A A =

uuuuuur

= 02 +22

+( −4 )2

= 20 .

A A

uuuuuur

uuuuur

uuuuuur

б)

A1 A2

A1 A4

−1 0 + 0 2 + 4 ( −4 )

cos ( A A , A A )

uuuuuur

A1 A2

A1 A4

17 20

=	−16		= −	8	. Поэтому
	17	20		85

uuuuuur uuuuuur

( A A

, A A

) = arccos

−

=π − arccos

1 2

uuuuuur

в) S

∆A A A

A A

× A A

−1 0 4

1 2

0 2 −4

0 4

−1 4

−1 0

r r

| i

−4

− j

−4

−8i

− 4 j

− 2k

−4i

− 2 j − k

= ( −4 )2 + ( −2 )2 + ( −1 )2 = 21 .

						1	uuuuur	uuuuur	uuuuur	1		−1	0	4		1
						1	uuuuur	uuuuur	uuuuur	1		−1	0	4		1
г)V	A A A A				=		\| ( A A , A A , A A ) \|=				\|	−2	1	0	\|=		\| 4	− 16 \|= 2 . •
г)V					=		\| ( A A , A A , A A ) \|=				\|	−2	1	0	\|=		\| 4	− 16 \|= 2 . •
						6	1 2	1 3	1 4	6						6
	1	2	3	4		6				6		0	2	−4		6
	1	2	3	4

3.2Задачи для самостоятельного решения

1.Пусть O – точка пересечения медиан треугольника ABC. Доказать, что

→

AO+ BO+CO =0 .

uur

uuur

Дан ∆ АВС, в котором AB = b ,

= c . Точки M, N, P – середины сто-

uur

uuuur

uuur

рон AC, BC и AB соответственно. Выразить векторы BC ,

BM ,

AN ,

через векторы b и c .

Дана равнобедренная трапеция

ABCD, в которой m – единичный вектор в

uur

n – единичный вектор в направлении векто-

направлении вектора основания AB ,

ра стороны

uur

AD , угол между этими векторами α = 45o , длина основания AB=8,

длина

боковой

стороны

AD = 3

2 . Разложить

векторы сторон

uur

uuur

uur

uuur

AB,

BC ,

CD,

DA и векторы диагоналей AC ,

BD по векторам m и n .

В треугольнике АВС точка М лежит на стороне ВС и

= λ .

Найти

uuuur

uur

uuuur

вектор AM , если

= b , AC

= c .

→

{−7 ; 11; 2} и A(5; 2; –1).

Найти координаты точки B, если AB =

6. Известны две координаты вектора x = 2, z = – 5. Определить его координату y при условии, что длина этого вектора равна 7.

7. Радиус – вектор точки M(x, y, z) составляет с осью OX угол α = 60o , с uuuur

осью OZ угол γ = 45o , длина вектора OM = 8 , а координата y > 0. Найти коор-

динаты точки M.

r →

8. При каком значении λ вектор a = λi + 3 j + k будет равен вектору AB ,

где A(–1; 1; 1), B(2; 4; 2)?

9. Известен конец A(2; 3) и середина C(4; 9) отрезка AB. Найти длину и на-

→

правляющие косинусы вектора AB .

→→

10.Найти длину вектора AB+ BC , если A(0; 3 ), B(1; 0), C(–2; 3 ).

11.Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

а) α = 300 , β = 900 , γ = 1500 ; б) α = 1350 , β = 600 , γ = 1200 ?

12.	r	r	r	r
12.	Даны векторы a1 = 2i + 3 j		− k	и a2 ={1; 0; 2}. Определить
	а) проекции на координатные оси вектора a = 2ar1 − 3ar2 ;
	б) координаты вектора b , который коллинеарен вектору a1 и \| br \|=7 2 ;
	в) орт вектора a2 .
13.	При каком значении λ векторы a и b коллинеарны:
	а) ar ={3; λ; −2} ,	b ={6; 5; −4} ;
	б) ar ={−2; 4; 1},	b ={λ; −2; −0,5}?

14.Даны точки A(1; –2; 3), B(4; 3; 0), C(2; 5;– 1), D(8; 15; –7). Проверить,

→→

что векторы AB и CD коллинеарные; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз; как они направлены – в одну или противоположные стороны.

15. Разложить вектор x по векторам a и b , если xr = {25; 1} ,

a= {2; − 4}, b = {7 ; 3}.

16.Даны три вектора pr ={1; 1; −1}, qr ={1; −1; 1}, rr ={−1; 1; 1} . Разложить вектор ar ={36; 13; 7} по векторам p , q , r .

17.Найти скалярное произведение векторов c и d , если

а) cr = 5ar + 3b , d = 2ar − b , | a |= 2 , | b |= 3 , ar b ;

б) cr = 3ar − 2b , d = ar + 4b , | a |= 1 , | b |= 4 , ( ar;b ) = π / 3 .

18.	Пусть\| a1 \|= 1 , \| a2 \|= 3 , ( a1 ;a2 ) = 3π / 4 , m = 3a1 + 2a2 , n = a2 − a1 .
Найти:
	а) длину вектора m ;
	б) косинус угла между векторами m и n ;
	в) проекцию вектора	m на ось, определяемую вектором n .
19.	Даны векторы m = {2; − 1; 3} и n = {3; 6; − 2}. Вычислить:
	а) m n ;	б) ( 2m − n ) ( 3m + 2n ) ;
	в) прnr( m + n ) ;	г) cos ( m ,n ) .
20.	При каком значении	λ скалярное произведение векторов ar = 3 j + λk и

b = {5; 2; 1} равно | a | ?

21.	Вычислить,				→
			какую работу производит сила F = 3ir − 5 rj + kr , когда её точ-
ка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M(2; –1; 0) в
положение N(1; 3; 2).
22.	Даны точки A(1; –2; 3), B(2; 1; –4), C(–3; 5; 1). Вычислить
	→	→	б) пр →	→	→	→
а) AB BC ;				AB ; в) cos ( AB, AC ) .
			AC
23.					r	= 3i + j − k и удовлетворяю-
	Найти вектор m , коллинеарный вектору n
щий условию m n = 22 .
24.	Вектор	x , перпендикулярный вектору a = {1; − 2}, образует острый угол
с осью OX. Найти его координаты, если \| xr \|=					20 .
25.	Даны \| a \|= 3 , \| br\|=			2 , ( ar;b ) = 450 . Вычислить

а) | ( 2ar + b ) ×( b − 3ar ) | ; б) | ( ar + 3b ) ×( ar − b ) | .

26.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ar + 3b и 3ar + b , если | ar | = | b | = 1 , ( ar;b ) = 300 .

27.Даны векторы ar = 2i − 4 j − k , b = i − 5 j + k . Найти векторные произ-

ведения: а) ar×( 3b + ar ) ; б) ( 2ar − b ) ×( ar + b ) .

28. Даны вершины параллелограмма A(2; 1; –3), B(0; –1; 2), C(1; –2; 1).

Найти его площадь.

29. Даны вершины треугольника A(2; 1; –1), B(1; 0; 3), C(2; –2; 5). Найти: а) длины сторон AB, AC, BC;

б) B ; в) площадь ∆ABC ;

г) высоту треугольника h, опущенную из вершины B;

д) координаты M – точки пересечения медиан треугольника.

30.Сила F = {1; − 2; 3} приложена к точке A(2; 1; 4). Определить момент этой силы относительно точки B(–1; 0; 2).

→→

31.Даны две силы F1 = {4;7 ; − 11}, F 2 = {5; − 2; 8}, приложенные к точке→

C(6; –4; –5). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно начала координат.

32.	Вычислить		синус	угла, образованного	векторами			ar = {11; 2; − 1},
b = {3; 4;7}.
33.	Найти	координаты		единичного вектора,	перпендикулярного				векторам
r		r	= −i + 4 j − k .
m = −3 j + k		и n	= −i + 4 j − k .							r
34.					r	r	r		r	r
34.	Вычислить смешанное произведение векторов a					+ c ,	c − 3b ,		a	+ b , ес-
ли известно смешанное произведение ( ar×b ) cr = 4 .								r
35.Определить, левой или правой является тройка векторов a ,								r
								b , c :
	а) ar = i + k , b = j , c = {2; 1; 3};
	б) a = {− 1; 2;7}, b = 4i + 3 j − k , cr = j − 3k .
36.	При каком значении λ векторы a , b и c				компланарные:
	а) a = {− 1; 4; 8}, b = {λ; 2; 3}, c = {2; − 1; − 5};
	б) a = {λ; 1; − 2}, b = {3; 2; 6}, c = {1; 2; −7}?

37.При каком значении λ четыре точки A(1; 1; 2), B(λ;–1; 2), C(0; 1; 4), D(3; 2; 2) лежат в одной плоскости?

38.Лежат ли точки A(1; 2; –1), B(2; 1; 3), C(1; 2; 1), D(0; 1; 5) в одной плоскости?

39.Вычислить объём пирамиды, вершины которой находятся в точках

A(4; 3; 1), B(2; –1; 3), C(0; 1; 1), D(–3; 1; 4).

40. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах ar = 3i + j − k , b = −i + k , cr = 2i + 3 j .

41. Даны вершины пирамиды A(1; –2; 3), B(4; 7; 1), C(2; 3; –5), D(1; –1; 1).

Найти длину её высоты, опущенной из вершины D.

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Ваналитической геометрии на плоскости геометрические объекты – линии – изучаются при помощи алгебры.

Основными являются две задачи:

1)по заданным геометрическим свойствам линии составить её уравнение;

2)по заданному уравнению линии выяснить её геометрические свойства.

Воснове такого изучения лежит метод координат.

Ваналитической геометрии линии рассматриваются как геометрические места точек, обладающих одним и тем же определяющим свойством. Точки, не лежащие на линии, этим свойством не обладают. Например, окружность определяется как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от некоторой фиксированной точки плоскости (центра окружности); биссектрису плоского угла можно рассматривать как геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла.

1.1Линии и их уравнения

1.1.1Уравнение линии в декартовой системе координат

Уравнение F( x,y ) = 0 называется уравнением линии L в выбранной на плоскости декартовой системе координатOXY , если координаты x и y любой (текущей) точки M(x, y) линии L удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не принадлежащих линии L, этому уравнению не удовлетворяют.

Таким образом, уравнение линии L есть соотношение, связывающее координаты точек данной линии (и только этих точек). Это соотношение представляет аналитическую запись, т.е. запись с помощью формулы того свойства, которое выделяет среди всех точек плоскости точки данной линии.

Пример 1. Вывести уравнение окружности с центром в точке M0 ( x0 ,y0 ) и радиусом R (рисунок 1).

• Пусть M(x, y) – текущая точка окружности L,

тогда определяющее свойство точек окружности мож-
но записать так: L ={M : M0 M = R}.	Используя
формулу расстояния между двумя	точками

M0 ( x0 ,y0 ) и M( x,y ) , основное свойство окружности запишем в

Рисунок 1	виде:	( x − x	)2 + ( y − y )2	= R .
		0	0

Таким образом, координаты x, y каждой точки М окружности удовлетворяют уравнению

( x − x	)2 + ( y − y )2	= R2 .	(1)
0	0

Обратно, любая точка M(x, y), координаты которой удовлетворяют уравнению (1), принадлежит окружности, т. к. её расстояние от точки M0 ( x0 ,y0 )равно R. •

Замечания.

1. Следует отметить, что линия, определяемая уравнением F( x,y ) = 0 , может отличаться оттого, что мы интуитивно привыкли считать линией. Так, например:

а) уравнению ( x − 1 )2 + ( y + 2 )2 = 0 соответствует на плоскости одна точка (линия, определяемая этим уравнением, – точка);

б) уравнению ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 − 1 ) = 0 соответствует точка О(0; 0) и окружность с центром О(0; 0) радиуса 1 (линия – точка и окружность);

в) уравнению x2 + y 2 +1 = 0 не соответствует на плоскости ни одной точки (линия – пустое множество).

2. В данном модуле будут рассмотрены линии, определяемые в прямоугольной системе координат только алгебраическими уравнениями первой и второй степеней:

Ax + By + C = 0 , Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 .

1.1.2 Уравнение линии в полярной системе координат

При решении некоторых задач аналитической геометрии оказывается более удобным определять положение точки на плоскости не прямоугольными декартовыми координатами, а полярными координатами.

Рассмотрим полярную систему координат на плоскости, которая определяется:

1)точкой О, называемой полюсом;

2)полярной осью ОР;

3)единицей длины (масштабом).

		Положение точки М на плоскости фиксируется
		uuuur
		двумя числами: полярным радиусом r = \| OM \| и
		полярным углом ϕ, который отрезок ОМ образует
		с полярной осью ОР.
		То, что точка М имеет полярные координаты r и
ϕ,	Рисунок 2	записывают так: М(r, ϕ) (рисунок 2).

Ясно, что r ≥ 0. Угол ϕ считается положительным при отсчёте против часовой стрелки и отрицательным – по часовой стрелке. Изменение полярного угла ограни-

чивают промежутком	0 ≤ϕ ≤ 2π или			−π ≤ϕ ≤ π .
Пример 2. Построить точки
M (1; π	/ 4 ), M	=	2; −	π ,	M	2;	2π		,	M (1,5; π )
M (1; π	/ 4 ), M	=	2; −	π ,	M	2;			,	M (1,5; π )
1	2				3					4
в полярной системе координат.				2				3
в полярной системе координат.				• Объясним построение точки M1 : отло-
				• Объясним построение точки M1 : отло-
			жим угол ϕ = π					от полярной оси ОР против
						4
			часовой стрелки и на полученном луче отло-
			жим точку M1 ,					отстоящую от полюса на рас-
			стоянии r = 1. Аналогично строятся и осталь-
Рисунок 3			ные точки (рисунок 3). •
Рисунок 3

Укажем связь между прямоугольными декартовыми и полярными координата-

ми в простейшем случае, когда полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось совпадает с положитель-

ным направлением оси ОХ (согласованные системы координат) (рисунок 4).

В прямоугольной системе координат точка М

имеет координаты x и y, а в полярной r и ϕ. Как легко видеть из рисунка 4, декартовы координаты точки выразятся через её полярные координаты так:

x = r cosϕ	.	(2)
	.	(2)
y = r sinϕ

Рисунок 4 Зная декартовы координаты, можно определить полярные:


r =	x2 + y2
	y	.	(3)

ϕ = arctg

	x

Замечания.

1. Для однозначного определения угла ϕ по заданным x и y нужно учитывать четверть, в которой находится точка М.

2. При x = 0 будет ϕ =	π	(если y > 0) или ϕ =	3π	(если y < 0).

2		2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.2019180.19 Кб20Врясова Б-101.docx
#
19.09.2019135.93 Кб3Все ответы на маркетинг.docx
#
14.02.20153.58 Mб59все ответы.docx
#
14.02.2015345.6 Кб988Все уроки Бонк.doc
#
14.02.201537.5 Mб26Выпарные аппараты 1.pdf
#
14.02.20151.43 Mб50Высшая математика.pdf
#
14.02.2015853.94 Кб14ВЫШКА варианты.docx
#
14.02.201595.46 Кб4Гаврилкина Александра.PDF
#
21.09.201946.57 Кб1ГАК 2 этап ПБ 2011 билеты.docx
#
14.02.2015562.48 Кб48генплан.pdf
#
14.02.20151.56 Mб104геология учебное пособие.doc