Высшая математика

Отметим еще одну особенность умножения матриц: произведение двух ненулевых матриц может давать нулевую матрицу. Например,

Легко проверить, что для прямоугольных матриц А и В и единичной матрицы Е справедливы равенства E А= А, B E = B , если эти матрицы можно перемножить.

Операция умножения матриц обладает еще некоторыми свойствами:

11

1)( A B ) C = A ( B C );

2)( A + B ) C = A C + B C ;

3)α ( A B ) = (αA ) B = A (αB ) .

При этом предполагается, что размеры матриц таковы, что все написанные произведения имеют смысл. Советуем читателю проверить эти свойства хотя бы на простых примерах.

1.2 Определители

1.2.1 Основные понятия

Каждой квадратной матрице А по специальному правилу сопоставим число, которое будем называть определителем или детерминантом этой матрицы. Обозначать определитель матрицы А будем одним из символов: | A | или det A.

Определителем матрицы 1-го порядка А= ( a11 ) называется число, равное ее единственному элементу, т.е. | A |= a11 .

Читатель должен отчетливо понимать разницу между определителем a11 a12

a21 a22

a11 a12

иматрицей . Определитель есть число, вычисляемое по формуле (2), а

a21 a22

матрица – таблица чисел. Однако, в определителе| A | , также как и в соответствующей матрице А, будем различать его элементы aij , строки, столбцы, диагона-

ли.

Формула (2) дает правило вычисления определителей 2- го порядка: определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример 6. Вычислить определитель матрицы А− B , где

12

Заметим, что вычисление определителя 3-го порядка осуществляется по формуле (3) через определители 2-го порядка, вычисление которых уже ранее определено

Для удобства запоминания правила вычисления определителя и формулировки

тов являются определители 2-го порядка:

13

делители 1-го порядка, например, M11 = a22 , M12 = a21 , M21 = a12 , M22 = a11 .

Заметим, что минор и алгебраическое дополнение одного и того же элемента совпадают, если (i + j) – чётное число, и отличаются только знаком, если (i + j) – нечётное число.

Используя понятие алгебраического дополнения, формулы (2) и (3) можно записать в следующем виде, удобном для запоминания:

Эти формулы называются формулами разложения определителя по 1-й строке.

Формулы (4) подсказывают, как следует ввести понятие определителя 4-го, 5-го и в общем случае n-го порядков.

Здесь, как и прежде, Aij – алгебраическое дополнение элемента a1j . Отметим, что

Aij представляет собой определитель (n – 1)-го порядка.

14

Таким образом, вычисление определителя n–го порядка сводится к вычислению n определителей (n – 1)-го порядка, вычисление каждого из которых сводится в свою очередь к вычислению n – 1 определителя (n – 2)-го порядка и т.д.

Если в формуле (3) вычислить миноры 2-го порядка, то получим формулу, удобную для вычисления определителя 3-го порядка:

Чтобы запомнить, какие произведения в (6) берутся со знаком “+”, а какие со знаком “–”, полезно использовать метод треугольников (правило Саррюса):

“+” “–”

1.2.2 Свойства определителей

Рассмотрим основные свойства определителей. Все пояснения, относящиеся к этим свойствам, будут проводиться для простоты на примере определителей 3-го порядка. Однако сами свойства справедливы для определителей всех порядков.

Свойство 1. Определитель матрицы А совпадает с определителем транспонированной матрицы AT , т.е. | A | = | AT | .

Для доказательства этого свойства (для определителей 3-го порядка) достаточно применить формулу (6) к вычислению | AT | и | A | и сравнить результаты. Это свойство означает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому даль-

15

нейшие свойства определителя будут формулироваться только для строк, хотя будут справедливы и для столбцов.

Свойство 2. Перестановка двух строк определителя изменяет его знак.

Для доказательства этого равенства нужно непосредственно вычислить определители в этом равенстве по формуле (6) и сравнить результаты.

Свойство 3. Если в определителе две одинаковые строки, то такой определитель равен нулю.

В самом деле, если в определителе | A | поменять местами эти одинаковые

строки, то определитель не изменится, но по свойству 2 его знак должен изменить-

ся. Поэтому, | A |= − | A | 2 | A | = 0 | A |= 0 .

Свойство 4. Умножение всех элементов одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ .

Или иначе: общий множитель всех элементов одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что определитель выражается в виде суммы (6), каждый член которой содержит множителем один элемент из каждой строки.

Свойство 5. Если соответствующие элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

В самом деле, если элементы двух строк пропорциональны, то элементы одной из них получаются умножением элементов другой на некоторый общий множитель. Вынося этот множитель за знак определителя (по свойству 4), мы получим определитель с двумя одинаковыми строками, который равен 0 по свойству 3.

Свойство 6. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки на их алгебраические дополнения.

Например, для определителя 3-го порядка имеют место следующие равенства:

| A |= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 , i = 1, 2, 3 (разложение по i-й строке).

Проверить эти равенства можно непосредственно, вычисляя алгебраические дополнения.

Это свойство позволяет вычислять определители разложением по любой строке, а в силу свойства 1 и по любому столбцу.

16

Свойство 7. Если каждый элемент некоторой строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, первый из которых имеет в указанной строке первые слагаемые, второй – вторые. Элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Например,

Доказательство этого равенства легко провести непосредственным вычислением по формуле (6) определителей, записанных в его левой и правой части, или разложением исходного определителя по указанной строке.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.

Действительно, полученный в результате прибавления определитель по свойству 6 можно разложить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй имеет две пропорциональные строки и по свойству 5 равен нулю.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Например, a21 A31 + a22 A32 + a23 A33 = 0. Здесь элементы берутся из второй строки, а алгебраические дополнения – из третьей строки. Действительно, разложим по третьей строке определитель

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a21 A31 + a22 A32 + a23 A33 . a21 a22 a23

Но у этого определителя вторая и третья строки одинаковы, значит, определитель равен 0 (по свойству 3). А это доказывает свойство 8.

Свойство 10. Для квадратных матриц справедливо равенство:

| A B | = | A | | B | .

Предлагаем читателю проверить это свойство хотя бы в случае n = 2.

В связи с задачей вычисления определителей рассмотрим и в первый раз применим важное понятие – элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобра-

зования над строками (столбцами) матрицы:

1) умножение строки (столбца) на ненулевое число; 2) перестановка двух строк (столбцов);

17

3) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца).

Преобразование 1) приведёт к тому, что определитель матрицы умножается на это число (свойство 4). Преобразование 2) изменит знак определителя (свойство 2). Преобразование 3) не изменяет определитель (свойство 7).

Итак, комбинируя элементарные преобразования матрицы можно привести определитель матрицы к виду, когда в строке или столбце окажутся все нулевые элементы и тогда определитель будет равен нулю, или все элементы, кроме одного, будут нулевыми. В этом случае нужно будет разложить определитель по этой строке или этому столбцу.

ментарные преобразования соответствующей матрицы.

• Для удобства проведения элементарных преобразований переставим местами первый и второй столбцы, при этом определитель изменит знак. Затем ко второй, третьей, четвертой строкам прибавим первую строку, предварительно умноженную на числа (–2), 2, (–1). Получим

Разлагая определитель по 1-му столбцу, получим определитель 3-го порядка:

Ко 2-й и 3-й строкам прибавим 1-ю строку, умножив ее на числа 9 и 2:

18

Отметим одно свойство определителя треугольной матрицы:

определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Действительно, последовательно разлагая такой определитель по первому столбцу, получим:

В частности, определитель единичной матрицы Е равен единице: E = 1 .

1.3 Обратная матрица

Напомним, что для ненулевого числа а существует понятие обратного числа

a−1 , такого, что a a−1 = a−1 a = 1 . Для матриц по аналогии вводится понятие обратной матрицы.

Матрица Х называется обратной матрицей для квадратной матрицы n - го порядка А, если A X = X A = E , где E – единичная матрица n - го порядка.

Обратную матрицу X для матрицы А обозначают через А−1 . Таким образом, по определению

Возникает вопрос о существовании и единственности обратной матрицы А−1 для А.

Теорема 1 ( единственность обратной матрицы).

Если для матрицы А существует обратная матрица А−1 , то она единственная.

Доказательство. Пусть существуют две обратные матрицы А1−1 и А2−1 . Рас-

смотрим произведение А1−1 А А2−1 .

С одной стороны А1−1 А А2−1 = А1−1 ( А А2−1 ) = А1−1 E = А1−1 , а с другой

стороны А1−1 А А2−1 = ( А1−1 А) А2−1 = EА2−1 = А2−1 . Значит, А1−1 = А2−1 .

Теорема 2 (о существовании обратной матрицы).

Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. | A |≠ 0 . При этом справедливо равенство:

19

дополнений соответствующих элементов матрицы А. При транспонировании её получим матрицу BT = ( Aji ) . Докажем, что матрица C = | A1 | BT и будет иско-

мой обратной матрицей для матрицы А. Для этого нужно убедиться, что выполняются условия A C = C A = E .

Проверим эти равенства для простоты на примере матрицы второго порядка.

По свойству 8 определителей a11 A11 + a12 A12 = a21 A21 + a22 A22 = | A | , а по свойству 9 имеем a21 A11 + a22 A12 = a11 A21 + a12 A22 = 0 , поэтому

Аналогично показывается, что C A = E .

Таким образом, обратная матрица А−1 существует и может быть вычислена по формуле (8) при условии, что | A |≠ 0 .

Пример 11. Найти матрицу, обратную для матрицы

20