Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

11. Решить систему уравнений

2 x1		−	x2			=	0
	x1	+	2 x2	−	x3	= −2 .

			x2	+	x3	=	−5

а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы.

• а) Выпишем определитель системы:

	2	−1	0		2	−1		1 −1


∆ =	1	2	−1	= 2			− ( −1 )			= 2 3 + 1 =7 .
	0	1	1		1	1		0	1
	0	1	1

Так как ∆ ≠ 0 , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Для этого найдем ∆1 , ∆2 , ∆3 :

		0		−1		0					−2	−1					2	0	0				−2	−1


∆	=	−2 2 −1					= −( −1 )						= −7 , ∆ =				1	−2 −1			= 2				= −14 ,
1		−5		1		1					−5	1			2		0	−5	1				−5	1
											−5	1											−5	1

			2	−1		0			2	−2				1	−2


∆	=		1	2		−2	= 2					− ( −1 )				= −16 − 5 = −21.
3			0	1		−5			1	−5				0	−5
									1	−5				0	−5

	По формулам Крамера получаем решение:																			∆3
				x1	=	∆1	=	−7 = −1, x2 = ∆2 =							−14	= −2, x3			=	∆3		=	−21	= −3.
						∆		7					∆		7						∆		7
						2		−1			0						0
							1	2		−1		, \| A \|=7 , B =					−2
	б) Здесь A =						1	2		−1		, \| A \|=7 , B =					−2	.
							0	1		1							−5
							0	1		1							−5

Выпишем алгебраические дополнения для матрицы А:
A	=		2 −1			= 3 , A			= −				1 −1							= −1 , A					=			1 2			= 1 ,
A	=		2 −1			= 3 , A			= −				1 −1							= −1 , A					=			1 2			= 1 ,
11		1			1		12					0				1								13				0		1
		1			1							0				1												0		1
A	= −			−1 0				= 1 , A		=			2 0				=				2 , A			= −			2 −1					= −2 ,
A	= −			−1 0				= 1 , A		=			2 0				=				2 , A			= −			2 −1					= −2 ,
21				1	1			22					0			1						23				0				1
				1	1								0			1										0				1
A	=		−1 0				= 1 , A			= −				2 0							= 2 , A				=				2 −1			= 5 .
A	=		−1 0				= 1 , A			= −				2 0							= 2 , A				=				2 −1			= 5 .
31			2		−1		32								1	−1								33					1	2
			2		−1										1	−1													1	2
																			1			3		1	1
Обратная матрица имеет вид:											A				−1	=			1			−1		2	2					.
Обратная матрица имеет вид:											A					=		7				−1		2	2					.
																		7				1	−2		5
																						1	−2		5

Решением системы будет:
			1	3		1	1	0		1	0 − 2 − 5				1	−7		−1
X = A	−1	B =			−1 2		2	−2				0	− 4 − 10			−14		−2
									=					=			=		.	•
			7							7					7
					1	−2 5		−5				0	4 − 25			−21		−3

12. Методом Гаусса решить системы уравнений

а) 1

2 x1x1

+	x2	+	x3	=	3
+	x2	−	3 x3	=	−1	;
+	x2	−	2 x3	=	1	;
+	2 x2	−	3 x3	=	1

x1 + x2		+ x3	+ x4	= 0
	+ 2 x2	+ 3 x3	+ 4 x4	= 0
x1						;
б)	+ 3 x2	+ 6 x3	+ 10 x4		0
x1				=
	+ 4 x2	+ 10 x3	+ 20 x4	= 0
x1

3 x1 − 5 x2			+	2 x3	+	4 x4	= 2
	−	4 x2	+	x3	+	3 x4	=	5 .
в) 7 x1
	+	7 x2	− 4 x3		− 6 x4		=	4
5 x1

					1 1 1				3	( −1 ) ( −2 )							1 1				1	3
					1 1 1				3	( −1 ) ( −2 )							1 1				1	3

	• а)	A \| B =			1 1		−3		−1							→			0 0		−4	−4				→
					1 1		−3		−1										0 0		−4	−4
					2 1		−2		1								0 −1				−4	− 5
					2 1		−2		1								0 −1				−4	− 5

							−3		1										0 1		−4	− 2
					1 2		−3		1										0 1		−4	− 2
	1 1		1	3				1 1 1							3					1 1 1			3
	1 1		1	3				1 1 1							3					1 1 1			3
→	0 1 −4			−2		( 1 )	→	0 1 −4							−2		→			0 1	−4		−2				→
→	0	−1	−4	− 5			→	0 0					−8		−7		→			0 0	−4		−	4	( −2 )		→
	0	−1	−4	− 5				0 0					−8		−7					0 0	−4		−	4	( −2 )
	0 0 −4							0 0 −4								b				0 0 −8				7
				− 4											− 4								−	7
				− 4											− 4								−
											1		1	1		3
											1		1	1		3
									→			0	1		−4	−2		.
									→		0		0		−4	− 4		.
											0		0		−4	− 4
											0		0	0		1
													0	0		1

	Получили		r( A ) = 3 ≠ r( A \| B ) = 4 , поэтому система несовместная.

б) Система однородная, r( A | B ) = r( A ) . В результате элементарных преобразований система останется однородной. Достаточно исследовать только матрицу системы А:

1		1	1	1 ( −1 )		1 1			1	1
A =	1	2	3	4	→		0	1	2	3 ( −2 ) ( −3 )	→
	1	3	6 10				0	2	5	9
	1	4	10 20				0	3	9	19

	1 1			1	1			1 1			1	1
→		0	1	2	3	( −3 )	→		0	1	2	3 .
		0	0	1	3	( −3 )			0	0	1	3
		0	0	3	10				0	0	0 1

Таким образом, r = r( A ) = 4 . Так как число неизвестных n = 4 r = n , поэтому решение единственное. Для однородной системы это означает, что она имеет только нулевое решение: x1 = x2 = x3 = x4 = 0 .

в) Выпишем расширенную матрицу, переставим 1-ю и 2-ю строки, а затем 1-й и 3-й столбец, чтобы в верхнем левом углу оказалась единица. При этом порядок неизвестных изменится:

									←–––→
	3	−5	2	4	2			7 −4		1	3	5

	7 −4		1	3	5	b		3	−5	2	4	2	→
A \| B =							→
	5	7 −4		−6	4			5	7 −4		−6	4

	x3	x2 x1		x4				x3	x2	x1	x4
	1	−4	7	3	5	( −2 ) ( 4 )		1 −4		7	3	5

→	2	−5	3	4	2		→	0	3 −11		−2	−8	( 3 ) →

	−4 7 5			−6	4			0	−9	33	6	24

	x3	x2	x1	x4
	1	−4	7	3	5

→	0	3	−11	−2	−8
						.
	0	0	0	0	0

Итак, r = r( A ) = r( A | B ) = 2 , значит система совместная. Число неизвестных n = 4, r = 2 < n = 4 , поэтому имеется бесконечное множество решений. Так как n − r = 4 − 2 = 2 , то две неизвестные свободные, например, x1 и x4 , а неизвестные x3 и x2 – базисные.

Восстановим систему, соответствующую последней расширенной матрице:

x3	− 4 x2	+	7 x1	+ 3 x4	= 5
	3 x2	−	11x1	− 2 x4	=	−8

или
x3	− 4 x2	=	5 − 7 x1		− 3 x4		.
	3 x2	=	−8 +	11x1	+	2 x4

Из последнего уравнения x2 = 13 ( −8 + 11x1 + 2 x4 ) . Подставляя x2 в первое

уравнение, получим x3 = 13 ( −17 + 23 x1 − x4 ) .

Общее решение:

x2 =	1	( 11x1 + 2 x4 − 8 ),	x3 =	1	( 23 x1 − x4 − 17 ) .
	3			3

Величины x1 и x4 – произвольные. Можно записать, что x1 =α, x4 = β, где α и β – произвольные числа. Тогда общее решение будет записано так:

			x1 =α,
						1
			x	2	=	1	( −8		+ 11α + 2β ) ,
			x		=	3	( −8		+ 11α + 2β ) ,
						3
						1
			x	3	=	1	( −17 + 23α − β ) ,
			x		=	3	( −17 + 23α − β ) ,
						3
					= β.
			x4		= β.
Укажем какое-нибудь частное							решение, например, положив α = 0 , β = 0 .
Тогда	x1 = 0 , x2 = −	8	, x3		= −			17	, x4 = 0 . •
Тогда	x1 = 0 , x2 = −		, x3		= −				, x4 = 0 . •
	3						3
13. При каких значениях λ система
			( 4 − λ )x1 + 3λx2 = 0 ,
								x1	− x2 = 0
								x1	− x2 = 0

имеет ненулевое решение?

• Вычислим определитель матрицы этой системы:

∆ =\| A \|=	4 − λ 3λ		= −4 + λ − 3λ = −4 − 2λ .
∆ =\| A \|=	4 − λ 3λ		= −4 + λ − 3λ = −4 − 2λ .
	1	−1

Если ∆ = 0 , то rang(A) < 2 и система будет иметь бесконечное множество ненулевых решений. Таким образом, ненулевые решения будут у данной системы при условии: − 4 − 2λ = 0 λ = −2 •

3.2 Задачи для самостоятельного решения

1.	Найти матрицу 5 AT + 2B C , если
	2			− 1		3				− 3			5
		4 2 1								− 3			5			1 − 3 2 4
		4 2 1														1 − 3 2 4
	A =						, B = 0 2 ,
	A =	0 6 3					, B = 0 2 ,							C =									.
		0 6 3									1					5 2 1 7
		1		− 2		2					1		1
		1		− 2		2
			2								− 2 3								5 − 6
2.	Найти матрицу A − 3B , если								A =						B =
2.	Найти матрицу A − 3B , если								A =				,		B =				2	0	.
											1		4						2	0
											4		3		− 2				− 1
3.														и
3.	При каких значениях λ матрицы										− 6			и		2				перестановочные?
											− 6		1			2			λ
4.	Вычислить определитель матрицы 4 А− BТ , если
							−1			2				1		4
					А=			1		, B =				−4		2	.
								1		1				−4		2
5.	Вычислить определитель произведения матриц A B , где
							1		2	3				−1		1
					A =		1		2	3					0 1
					A =				1		, B =				0 1			.
							0		1	1					2	1
															2	1
6.	Найти матрицу D = A B C и вычислить ее определитель, где
			2		1				1		2		−1						3	−2	1
			0		1				1		2		−1	, C =					4 1 0
	А=		0		1	, B =				0	1			, C =					4 1 0			.
			−1		1					0	1		1						1	2	0
			−1		1														1	2	0
							2	−1			1
							2	−1			1
7.	Вычислить определитель						1		1		−1	различными способами:
							2	−1			3

а) по правилу треугольников; б) разложением по какой-либо строке или столбцу.

	1	3	x
8. Решить уравнение	4	5	−1	= 0 .
	2	−1	5

											− 1		2	α
9. При каком значении α определитель матрицы												0	1	1
9. При каком значении α определитель матрицы											A =	0	1	1	равен опре-
												2	0	3
												2	0	3
α	α − 1

делителю матрицы B =	1				?
2	1
10. Вычислить алгебраические дополнения элементов a32												и a24		определителя
				1	0	3	4
				1	0	3	4
				1	−1	2	5			.
				7	−2	3	−4			.
				0	1	6	8
		3			− 1	2	4
		3			− 1	2	4
11. Вычислить определитель		6			2	− 1	5				, предварительно обратив в
		8			4	0	1
			− 2		1	3		− 1
нуль все кроме одного элемента какой-либо строки или столбца.
			2		−5	1	2
			2		−5	1	2
12. Вычислить определитель			−3		7	−1 4			, приведя его элементарными пре-
			5		−9	2	7
			4		−6	1	2

образованиями к треугольному виду.

13. Вычислить определители матриц

1		−2	1		−4
				3	2
A =	7	1	, B =
				−1	−2

1	−1		2	0	3
		0	1	0	2
1	, C =					.
		2	1	1	3
4
		2	−1	1	0

14. Найти обратные матрицы и сделать проверку для матриц

3 2			−1		1 2			−3
	1	1	2			3	2	−4
A =				,	B =				.
	2	2	5			2	−1 0

							λ		1	1
15. При каком значении λ матрица								3	−1	2
15. При каком значении λ матрица								3	−1	2	не имеет обратной матрицы?
								1	−3	0
								1	−3	0
16. Решить матричные уравнения
			1 2			3 −3		,		3 −2			0 1 − 1
		Χ			=	3 3		,				Y =		2 3 1		.
			−1 1			3 3				2 −1				2 3 1
17. Найти ранг матриц:
2		3	7	11		1 1 1 0								2 1		− 1
2		3	7	11			2		−1 3 1						5 3	− 2
A =	1 2 4 7				,	B =	2		−1 3 1			,	C =		5 3	− 2	.
							−1 2 0 3								2 3	1
	5	0	10	5			−1 2 0 3								2 3	1
	5	0	10	5			3 1 1 −1								3 2	− 1
							3 1 1 −1								3 2	− 1

6 λ + 1

18.При каком значении λ матрица A = имеет ранг, равный 1?

−1 −1

19.Решить системы уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы:

	3x1 − 4 x2 = 6	;
а)	x1 + 2 x2 = 2

2 x1 − x2 + x3 = 4
	x1 + x2 − x3 = 2 ;
в)
	2 x1 − x2 + 2 x3 = 5

б)

г)

2 x1 + x2		=7	;
	− 3x2	= −2
x1
x1 + 2 x2 + 3x3 =7
	− 3x2	+ 2 x3 = 5 .
x1
	+ x2	+ x3 = 3
x1

20. Решить системы уравнений методом Гаусса:

2 x1 + 3x2 + 5 x3 = 12					x1 + x2 + 2 x3 = 1
					x1 − 2 x2 −	x3 = 2
	x1	− 4 x2 + 3x3 = −22 ;					;
а)				б)	x1 − x2 +	5 x3 = 3
		− x2 − 2 x3 = 0
3x1					−2 x1 + 2 x2 + 3x3 = −4

x1 − 2 x2 − x3 + 3x4 = 5				2 x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1
					x1 − x2 +	x3 + x4 − 2 x5		= 0
	2 x1	− 4 x2 − x3 + 6 x4 = 10 ;							;
в)				г)	3x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4 x5 = 2
	2 x1	+ x2	+ x4 = 20
					4 x1 + 5 x2 − 5 x3 − 5 x4 +7 x5 = 3

x1 + x2 + x3 = 0				x1 + x2 − 4 x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0					3x1	+ 5 x2	+ 2 x3	= 0
	3x1	− x2 + 2 x3 = 0 ;			3x1	+ 5 x2	+ 2 x3	= 0	.
д)	3x1	− x2 + 2 x3 = 0 ;		е)	4 x1	+7 x2	+ 5 x3	= 0	.
	x1	− 3x2	= 0		4 x1	+7 x2	+ 5 x3	= 0
	x1	− 3x2	= 0		2 x1	+ 9 x2	+ 6 x3	= 0
					2 x1	+ 9 x2	+ 6 x3	= 0
		x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31
				+ 2 x3 = 29 методом Гаусса; методом Крамера; с
21. Решить систему 5 x1 + x2				+ 2 x3 = 29 методом Гаусса; методом Крамера; с
			3x1 − x2	+ x3 = 10
			3x1 − x2	+ x3 = 10
помощью обратной матрицы.
22. Определить значение параметра λ , при котором однородная система
			2 x1 + x2 + 3x3 = 0
				4 x1 − x2 +7 x3 = 0
				4 x1 − x2 +7 x3 = 0

			x1 + λx2 + 2 x3 = 0

имеет ненулевые решения, и найти эти решения.

Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных науках, могут быть разделены на два типа: скалярные и векторные. Величины, которые определяются только одним числовым значением, называются скалярными или скалярами (например, масса, время, температура, цена и т.п.). Величины, для определения которых требуется задать кроме числа еще и направление, называются векторными (например, скорость, ускорение, сила и т.п.). Геометрически их изображают вектором.

1.1 Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой с указани-

ем точек начала А и конца В.

uur

Обозначать вектор в этом случае будем так: AB . Иногда вектор обозначается одной буквой: a (рисунок 1).

Рисунок 1 нулевым, например,

Длина направленного отрезка называется длиной
	uuur		r
ar или модулем вектора и обозначается так:	AB	,	a	.

Если длина вектора равна единице, то он называется единичным или ортом. Если у вектора начало и конец

uur совпадают, то его длина равна нулю и его называют AA = 0 . Направление нулевого вектора не определено.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или на парал-

лельных прямых.		r	r
r
На рисунке 2 векторы a , b и	c коллинеарные, при этом векторы a		и b оди-
наково направлены ( ar ↑↑ b ) , а векторы		a и c , b и c противоположно на-
правлены ( ar ↑↓ cr, b ↑↓ cr ).

В математике обычно рассматривают свободные векторы, это значит, что положение их начала не играет никакой роли.

Векторы a и b называются равными, если они имеют одинаковую длину, коллинеарные и одинаково направлены.

Кратко:

Рисунок 2	r	r	r	=	r	r	r

	a	= b	a		b	и a	↑↑ b .
Таким образом, вектор b	равен вектору a , если он может быть получен из

него при помощи параллельного переноса.

Векторы, лежащие в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), называются компланарными.

Очевидно, что любые два вектора компланарные, а три вектора не всегда можно «положить» в одну плоскость.

Рассмотрим		параллелепипед ABCDA1B1C1D1
(рисунок 3).
Можно отметить, например, что
uuur	uuuur		uuuur			uuuuur
AA1	= BB1		= CC1 = DD1 ,
uur	uuur	uuuur		uuuuuur		– компланарные, но
AB, AD, DC , D C					1
uuur	uuur	uuur		1

AA1 , AB, AD – некомпланарные.

Рисунок 3 Над векторами можно проводить линейные и нелинейные операции.

Клинейным операциям относятся: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число.

Кнелинейным операциям относятся: скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.

1.2Линейные операции над векторами в геометрической форме

Суммой ar + b двух векторов a и b называется новый вектор, который идет

из начала вектора a в конец вектора b , при условии, что вектор br приложен к вектору a (правило треугольника) (рисунок 4, а)).

а)	б)	в)
	Рисунок 4

Иногда два вектора удобнее складывать по правилу параллелограмма. Для этого векторы переносят так, чтобы начала их были в одной точке O. Затем строят па-

раллелограмм со сторонами, равными ar и br . Вектор ar + b будет вектором

диагонали с началом в этой точке O и концом в точке С (рисунок 4, б)). Очевидно,

что оба правила дают одинаковый результат.

r r r

Пусть требуется сложить n векторов a1 , a2 , K, an . r

Cуммой этих векторов будет вектор S , соединяющий начало первого вектора a1 с концом последнего вектора an при условии, что начало каждого совмещено с

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.2019180.19 Кб20Врясова Б-101.docx
#
19.09.2019135.93 Кб3Все ответы на маркетинг.docx
#
14.02.20153.58 Mб59все ответы.docx
#
14.02.2015345.6 Кб988Все уроки Бонк.doc
#
14.02.201537.5 Mб26Выпарные аппараты 1.pdf
#
14.02.20151.43 Mб50Высшая математика.pdf
#
14.02.2015853.94 Кб14ВЫШКА варианты.docx
#
14.02.201595.46 Кб4Гаврилкина Александра.PDF
#
21.09.201946.57 Кб1ГАК 2 этап ПБ 2011 билеты.docx
#
14.02.2015562.48 Кб48генплан.pdf
#
14.02.20151.56 Mб104геология учебное пособие.doc