Высшая математика

концом предыдущего (правило многоугольника) (рисунок 4, в)).

51

Докажем достаточность условия. Пусть b = λ ar . Тогда по определению операции произведения вектора на число следует ar || b , что и требовалось дока-

зать.

Пример 1. В трапеции выразить вектор средней линии через векторы основа-

1)ar + b = br + ar – перестановочное свойство;

2)λ ( ar + b ) = λar + λbr – распределительное свойство;

3)ar + ( b + cr ) = ( ar + br ) + cr – сочетательное свойство;

4)λ( µa ) = ( λµ )ar ;

5)( λ + µ )a = λar + µar .

Эти свойства позволяют выполнять действия с векторными выражениями так

же, как и с алгебраическими. Например,

2( ar −3b + 2cr ) −5( −2ar +br +cr ) = 2ar −6br + 4cr+10ar −5br−5cr = 12ar −11br−cr .

1.3 Базис векторного пространства. Координаты вектора

Пусть даны векторы a1 , ar2 ,K , arn , n N . Применяя линейные операции, мы

можем составить так называемую линейную комбинацию векторов

α1a1 +α2ar2 + K +αn arn , n N .

Числа α1 , K , αn называются её коэффициентами.

Система векторов a1 , ar2 ,K , arn называется линейно зависимой, если какаялибо их линейная комбинация равна нулю: α1a1 +α2ar2 + K +αn arn = 0 , причём

коэффициенты линейной комбинации не равны нулю одновременно.

В этом случае какой-либо из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных. Например, если α1 ≠ 0 , то

52

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Система векторов называется линейно независимой, если ни один из векторов системы не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных. Линейная комбинация линейно независимых векторов может равняться нулю только в том случае, если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю одновременно.

Замечания.

1.Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарные.

2.Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарные.

Таким образом, мы подходим к одному из важнейших понятий векторной алгебры – к понятию базиса.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор e этой прямой. Базисом наrплоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных

векторов e1 , e2 .

Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов e1 , er2 , er3 .

Замечание. Слово «упорядоченная» означает, что мы будем различать, какой вектор взят первым, какой вторым, какой третьим. Например, e1 ,er2 ,er3 и er2 ,er1 ,er3

различные базисы в пространстве, хотя и состоят из одних и тех же векторов.

Рассмотрим разложение вектора a по базису e1 ,er2 ,er3 в пространстве:

a =α1er1 +α2er2 +α3er3 .

Числа α1 , α2 , α3 называются координатами вектора a в данном базисе.

Запись ar = { α1 ; α2 ; α3 } будет означать, что координаты вектора в данном бази-

се равны α1 , α2 , α3 .

Аналогично определяются координаты вектора на плоскости и на прямой. Рассмотрим важные теоремы о разложении вектора по базису.

Теорема 2. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.

Теорема 3. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.

Теорема 4. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве. Теорема 5. Координаты вектора в каждом случае определяются однозначно.

53

Единственность разложений (теорема 5) доказать можно от обратного. Пред-

ставим себе, что некоторый вектор разложен по базису, например, в пространстве двумя способами: a =α1er1 +α2er2 +α3er3 и a = β1er1 + β2er2 + β3er3 .

Вычитая из первого выражения второе, получим

(α1 − β1 )e1 + (α2 − β2 )er2 + (α3 − β3 )er3 = 0 .

Если хотя бы одна из разностей в скобках не равна нулю, то мы сможем разложить один из векторов базиса по остальным. Например, при α1 − β1 ≠ 0 имеем

Но это противоречит некомпланарности базисных векторов, что и доказывает единственность разложения.

Отметим, что базисов в пространстве можно выбрать бесконечное множество,

54

Рисунок 8

1.4 Проекция вектора на ось

Осью будем называть прямую ОР, на которой указана точка О начала отсчёта, масштаб и положительное направление, указанное стрелкой (рисунок 9).

Пусть имеется произвольная точка А, лежащая вне оси. Проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную оси. Точка А1 пересечения плоскости с осью называется ортогональ-

ной проекцией точки А на ось. Для произвольного uur

55

Отметим свойства проекции вектора на ось. Читатель сам без труда докажет их при помощи рисунков 10 – 12.

1.5Прямоугольная декартова система координат. Координаты точки

1) ir = rj = kr = 1 ;

2)ir rj , ir kr, rj krr; r

3)тройка векторов i , j , k – правая тройка, т. е. вращение от первого вектора

iко второму j на наименьший угол (в данном случае на 90°) происходит против

часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора k .

Прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность точки О и ортонормированного базиса i , rj , kr .

Точка О носит название начала координат.

Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов ir, rj , kr называются координатными осями (соответственно ОХ – ось абс-

цисс, OY – ось ординат, OZ – ось аппликат (см. рисунок 13)).

Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными

56

xM , yM , zM являются координатами точки М и это обозначается так:

М( xM , yM , zM ) (рисунок 13).

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости и на прямой. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты (абсциссу и ординату), а точка на прямой – одну.

Замечание. Нетрудно убедиться, что прямоугольные координаты точки в пространстве (на плоскости) по абсолютной величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей (осей), а координаты вектора представляют собою проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.

Пример 4. Построить в прямоугольной декартовой системе координат точку

М(1; 2; 3).

• Для построения точки М в пространстве достаточно провести три плоскости, перпендикулярные координатным осям, и пересекающие оси соответственно при xМ = 1, yМ = 2, zМ = 3. Точка М будет точкой пересечения этих плоскостей (рисунок 14). •

1.6 Линейные операции над векторами в координатной форме

Ранее были рассмотрены линейные операции над векторами, которые рассматривались как направленные отрезки. Переход к координатной форме задания векторов позволяет выполнить эти действия с числами – координатами. Рассмотрим эти действия.

1. Если два вектора равны, то равны их соответствующие координаты.

Это следует из единственности разложения вектора по базису.

57

3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это

число.

Действительно, λar = λ( ax i + ay rj + az kr ) = ( λax )ir + ( λay )rj + ( λaz )kr .

Замечание. Так как коллинеарные векторы отличаются только числовым множителем, то координаты таких векторов пропорциональны. Очевидно, что верно и обратное утверждение. Таким образом, условие коллинеарности двух векторов:

Используя рассмотренные операции, решим две важные задачи.

А(xA; yA; zA) и B(xB; yB; zB). Пусть известно, в

каком отношении точка М делит отрезок АВ:

АММB = λ, где λ – заданное число. Найти координа-

ты xM, yM, zM точки М.

Рисунок 16

58

Эти формулы называют формулами деления отрезка в заданном отношении.

Замечание. При λ = 1 точка М – точка середины отрезка АВ и её координаты

Пример 7. Даны вершины треугольника А(5; 6; –2), В(–3; 2; 8), С(1; 4; –10).

Найти координаты точки М – точки пересечения медиан этого треугольника.

• Известно, что точка М делит медиану BD в отношении 2 : 1, считая от вер-

59

2. ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

2.1 Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число (скаляр),

Важность этой операции во многом будет видна из свойств скалярного произведения.

2.1.1 Основные свойства скалярного произведения

Свойство 1. Связь скалярного произведения с проекцией одного вектора на ось, задаваемую другим вектором.