Высшая математика

1.3 Линии второго порядка

При изучении линий по их уравнениям естественно располагать их по сложности этих уравнений. Самой простой линией является прямая, так как ее уравнение имеет первую степень. Следующими по своей сложности за прямой являются линии, уравнения которых имеют вторую степень.

Рассмотрим линии: эллипс, гиперболу и параболу. Ниже будет показано, что их уравнения в декартовой системе координат имеют вторую степень, и что других линий, задаваемых уравнением второй степени, нет.

1.3.1 Эллипс

Эллипсом называется линия, представляющая множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Пусть фокусами эллипса являются точки F1 и F2 . Обозначим сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов через 2a (a > 0), а расстояние F1F2 между фокусами через 2с (с > 0). Тогда для любой текущей точки М эллипса будет

90

Исследуя аналитически уравнение эллипса (20), выясним, какими свойствами обладает эллипс.

1) Так как переменные x и y входят в уравнение (20) только во второй степени, то уравнение сохраняет вид, если заменить x на ( – х), а y на ( – y). Из этого следует, что если на эллипсе лежит некоторая точка M1 ( x1 ,y1 ) , то одновременно с

ветственно относительно оси OX, оси OY и начала координат О. Это означает, что

оси координат OX, OY являются осями симметрии эллипса.

2) Заметим, что каждое из двух слагаемых левой части уравнения (20) не превосходит единицы, так как их сумма (а они оба положительны) равна единице:

для всех точек эллипса. Это означает, что эллипс находится внутри прямоугольни-

ка −a ≤ x ≤ a , − b ≤ y ≤ b .

Отношение ε = ac называется эксцентриситетом и характеризует форму

(степень сжатия) эллипса.

Так как для эллипса 0 < c < a, то его эксцентриситет 0 < ε < 1. Чем больше эксцентриситет, тем больше расстояние от центра эллипса до его фокусов и тем более сплющен эллипс; чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше форма эл-

липса приближается к окружности (если положить ε = 0, что будет при c = 0 или a = b, то эллипс превращается в окружность: x2 + y2 = a2 ).

Замечания.

1. Эллипс, заданный уравнением (20), может быть получен из окружности, за-

данной уравнением x2 + y2 = a2 , с помощью сжатия в ab раз вдоль оси OY.

2. Пусть в уравнении (20) выполняется условие b > a. Очевидно, это эллипс, отнесённый к системе координат, в которой оси OX и OY поменялись ролями:

92

большая ось и фокусы этого эллипса лежат на оси OY, а малая ось – на оси OX. В этом случае c2 = b2 − a2 , ε = bc . Координаты фокусов: F1 ( 0, −c ), F2 ( 0,c ) .

3. Иногда бывает удобнее работать с параметрическими уравнениями эллипса:

x = a cos t,y = b sin t.

Пример 12. Получить каноническое уравнение эллипса, у которого расстояние между концами большой и малой полуоси равно 6, а расстояние между фокусами равно малой оси (фокусы расположить на оси OX).

• Согласно условиям задачи a2 + b2 = 6 , 2c = 2b . Второе соотношение дает

1.3.2 Гипербола

Гиперболой называется линия, представляющая множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Вывод уравнения гиперболы по её геометрическому свойству аналогичен выводу уравнения эллипса. Так же, как и для эллипса выберем систему координат и сделаем обозначения (рисунок 13). Только теперь вместо равенства (19) будет выполняться для любой точки М гиперболы равенство

По формуле расстояния между двумя точками находим F1 M , F2 M и подставляем в (21). Затем проделываем аналогичные преобразования, позволяющие избавиться от корней. Так как c > a, то можно ввести обозначение b2 = c2 − a2 .

Окончательно получим каноническое уравнение гиперболы:

Исследование формы гиперболы

Проведём анализ уравнения (22) для выявления основных свойств гиперболы.

93

1) Гипербола симметрична относительно оси OX, оси OY и начала координат

О. Это следует из того, что переменные x и y входят в уравнение только во второй степени.

гается при x ≤ − a и x ≥ a . Заметим, что с увеличением | x | будет увеличиваться и значение | y |.

3) Гипербола пересекает ось OX в точках A1 ( a, 0 ) и A2 ( −a, 0 ) – вершинах

гиперболы. С осью OY пересечения нет. Ось OX называют действительной осью гиперболы, а ось OY – мнимой осью.

4) У гиперболы существуют асимптоты – прямые линии, к которым неограниченно приближаются точки гиперболы при неограниченном удалении в бесконеч-

ность от начала координат. Уравнения этих прямых имеют вид: y = ± ab x .

Для построения гиперболы целесообразно сначала построить ее асимптоты. Для этого строят прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей OX и OY. Диагонали этого прямоугольника, неограниченно продолженные, являются асимптотами. Зная вершины и асимптоты, теперь легко провести две ветви гиперболы (рисунок 15).

вовать также гипербола. Только действительной осью будет ось OY, а мнимой – OX. Её фокусы F1 ( 0, −c ), F2 ( 0,c ) лежат на оси OY, вершины

B2 ( 0,−b ) . Построение такой гиперболы аналогично.

Пример 13. (Область влияния железнодорожной станции)

Пусть на железной дороге расположены две станции А и B (рисунок 16).

94

• Пусть стоимость провоза груза равна р рублей за 1 км при перевозке автотранспортом и q рублей за 1 км при перевозке по железной дороге. Тогда:

2a = qp AB . Таким образом, для точек M, лежащих в той части плоскости, кото-

рая отделена ветвью гиперболы от точки А, выгоднее возить грузы в B. •

1.3.3 Парабола

Параболой называется линия, представляющая множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой.

Для вывода уравнения параболы введём систему координат таким образом, чтобы ось OX была перпендикулярна директрисе d, проходила через фокус F, и была направлена от директрисы в сторону фокуса. Ось OY проведём через середину отрезка KF перпендикулярно оси OX (рису-

нок 17).

Из определения параболы для её текущей точки M(x, y) справедливо равенство:

FM = NM .

Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через p > 0, т.е. KF = p.

Рисунок 17

95

ния от точки до прямой), то свойство параболы можно выразить равенством

Исследование формы параболы.

Анализ этого уравнения позволяет отметить некоторые свойства параболы:

1) Ось OX является осью симметрии, так как переменная y входит в уравнение (23) только во второй степени.

2) Парабола проходит через начало координат, так как координаты точки

О(0,0) удовлетворяют уравнению (23).

3) Так как p > 0, то x ≥ 0 и, поэтому, линия расположена на плоскости OXY только правее оси OY.

Замечания.

1. Если в уравнении (23) поменять местами x и y, то полученное уравнение

мая, заданная уравнением y = – р/2.

2. Каноническими также являются уравнения парабол y2 = −2 px ,

96

позволяют осуществить переход от новых координат (x1 , y1) к старым (x, y). Выпишем формулы для перехода от координат старых (x, y) к новым (x1 , y1):

Замечание. Общий случай преобразования координат, когда у систем OXY и О1X1Y1 не совпадают ни начала, ни направления осей, легко сводится к уже рассмотренным случаям. Связь координат осуществляется формулами:

Пример 15. Зная координаты точки М(1; 3) в декартовой системе OXY, найти ее координаты в новой системе координат, полученной из данной переносом начала О в точку О1(2; –1) и поворотом осей на угол 45°.

• Полагая в формулах (29) a = 2, b = –1, ϕ = 45°, получим формулы преобразования координат, соответствующие данным условиям:

Подставляя в них x = 1, y = 3, найдём новые координаты точки М:

98

1.5 Исследование общего уравнения линии второго порядка

Чтобы написать уравнение какой-либо линии, надо прежде всего выбрать систему координат. При изменении этой системы изменится и уравнение линии.

Возникает вопрос о том, как, имея уравнение некоторой линии в определённой системе координат, упростить это уравнение за счёт более удачного выбора координатной системы.

Остановимся на рассмотренных только что преобразованиях прямоугольной декартовой системы координат: параллельном переносе и повороте.

Рассмотрим уравнение вида

которое называется общим уравнением линии второго порядка, при условии, что хотя бы одно из чисел A, B, C не равно нулю.

Покажем, как, используя преобразования декартовой системы координат, привести это уравнение к простейшему (каноническому) виду. Для этого решим две задачи.

Задача 6. Определить такой угол поворота ϕ системы координат OXY, чтобы в новой системе координат OX1Y1 уравнение (30) после преобразования уже

к координатам x1 , y1 в уравнение (30) :

A( x1 cosϕ − y1 sinϕ )2 + 2B( x1 cosϕ − y1 sinϕ ) ( x1 sinϕ + y1 cosϕ ) + C( x1 sinϕ + y1 cosϕ )2 + D( x1 cosϕ − y1 sinϕ )+ E( x1 sinϕ + y1 cosϕ )+ F =0 .

Сделаем преобразования: раскроем скобки и соберем подобные при перемен-

Если A = C , то получаем условие cos 2ϕ = 0 .

99