Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

										↔
		1 1		1	6	( −2 ) ( −1 ) ( −3 )		1 1		1	6

б)	A \| B =	2	−1	1	3		→	0	−3 −1		−9	→
		1	−1	2	5			0	−2	1	−1

		3	−6 5		6			0	−9	2	−12

		x1	x3	x2					x1	x3	x2				x1 x3 x2
	1 1 1				6			1 1			1	6			1 1 1	6

→		0	−1	−3	−9	( 1 ) ( 2 )			0	−1	−3	−9				9
							→							→	0 1 3		.
	0		1	−2	−1			0 0			−5	−10	( −3 )		0 0 1	2


		0	2	−9	−12				0 0		−15	−30
															0 0 0	0

	Получили			r = r( A ) = r( A \| B ) = 3 ,						значит, система совместна. Так как число

неизвестных n = 3 = r , то система имеет единственное решение. Полученной расширенной матрице соответствует система:

x1 + x3		+	x2	= 6
	x3	+	3 x2	=	9

			x2	=	2

Пользуясь обратным ходом метода Гаусса, легко получить

x2 = 2 x3 + 3 2 = 9 x3 = 3 x1 + 3 + 2 = 6 x1 = 1.

Итак, единственное решение системы:								x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 3 .
	1			1	−1	−2	−4	1	( −2 ) ( 1 ) ( −3 )

		2	2		−1	−2	1	4
в) A \| B =										→
	−1			−1 2		3	0	3


		3		3	1	0	− 2	15

	x1 x2 x3 x4	x5				x1 x3 x4		x5	x2
1 1 −1 −2 −4			1		1 −1 −2 −4 1					1
1 1 −1 −2 −4			1		1 −1 −2 −4 1					1
→	0 0 1 2	9	2			0 1	2	9	0	2	( −1 )( −2 )
				→								→
0 0 1 1 −4			4	→	0 1		1 − 4		0	4		→
0 0 1 1 −4			4		0 1		1 − 4		0	4

	0 0 4 6	10	12	0,5		0 2	3	5	0	6


					31

	x1 x3 x4			x5 x2						x1	x3	x4	x5	x2
1 −1 −2				−4	1	1			1 −1 −2				−4	1	1

→	0	1	2	9	0	2				0	1	2	9	0	2	.
								→
0		0	− 1	− 13	0	2	( −1 )		0		0	− 1	− 13	0	2


	0	0	− 1	− 13	0	2				0	0	0	0	0	0

Получили r = r( A ) = r( A \| B ) = 3 , значит, система совместная. Число пере-
менных n = 5 . Т. к.	r = 3 < n = 5, то система имеет бесконечное множество ре-
шений. Неизвестные x1 , x3 , x4 возьмём базисными, а x5 , x2					– свободными.
Последней матрице соответствует система
x1 − x3		− 2 x4	− 4 x5	+ x2	= 1
	x3	+ 2 x4	+ 9 x5		= 2

		−x4	− 13x5		= 2

или
x1 − x3		− 2 x4	= 1	+ 4 x5	− x2
	x3	+ 2 x4	= 2	− 9 x5	.
	x3	+ 2 x4	= 2	− 9 x5	.
		x4	= −2	− 13x5
		x4	= −2	− 13x5
Последовательно находим
x4 = −2 − 13 x5 ,

x3	= 2 − 9 x5 − 2 x4 = 2 − 9 x5 − 2( −2 − 13x5 ) = 6 + 17 x5 ,
x1	= 1 + 4 x5 − x2 + x3 + 2 x4 = 1 + 4 x5 − x2 + 6 + 17 x5 + 2 ( −2 − 13x5 ) =
	= 3 − x2 − 5 x5 .
Итак, общее решение системы:
	x1 = 3 − x2 − 5 x5 ,
	x3	= 6 + 17 x5 ,
	x4	= −2 − 13x5 . •

Вдальнейшем будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений: матрица системы А – квадратная (число уравнений m совпадает с числом неизвестных n ) и невырожденная ( | A |≠ 0 ) ( крамеровская система).

Вэтом случае r = r( A ) = r( A | B ) = n , поэтому крамеровская система имеет

единственное решение.

Кроме универсального метода Гаусса, для решения крамеровских систем можно применять еще и другие методы. Рассмотрим эти методы.

2.3 Метод Крамера

Теорема 7 (метод Крамера).

Единственное решение крамеровской системы можно получить по формулам Крамера:

x i =	∆i	, i = 1 ,K , n ,	(15)
	∆

где ∆ =\| A \| – определитель матрицы системы, а определители ∆i			получаются

из определителя ∆ заменой в нем i - го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство теоремы (вывод формул Крамера) проведем для простоты только в случае n = 3. Для этого выпишем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

a11 x1	+	a12 x2
	+	a22 x2
a21 x1
	+	a32 x2
a31 x1

Здесь

+a13 x3

+a23 x3

+a33 x3

=b1

=b2 .

=b3

	a11	a12	a13
∆ =	a21	a22	a23	≠ 0 .
	a31	a32	a33

Умножим уравнения этой системы соответственно на A11 , A21 , A31 – алгеб-

раические дополнения к элементам первого столбца определителя ∆ , и сложим все полученные уравнения. Получим:

( a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 )A11 + ( a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 )A21 + +( a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 )A31 = b1 A11 + b2 A21 + b3 A31

( a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 )x1 + ( a12 A11 + a22 A21 + a32 A31 )x2 + +( a13 A11 + a23 A21 + a33 A31 )x3 = b1 A11 + b2 A21 + b3 A31

По свойствам определителей выражение в первой скобке равно ∆ , выражения во второй и третьей скобках равно нулю. Выражение в правой части

b1 a12 a13

b1 A11 + b2 A21 + b3 A31 = b2 a22 a23 = ∆1 .

b3 a32 a33

Таким образом, имеем ∆ x1 = ∆1 x1 = ∆1 / ∆ .

Для определения x2 и x3 нужно умножить уравнения системы соответственно

на алгебраические дополнения элементов второго и третьего столбца определителя

∆ .

Пример 16. Решить систему методом Крамера
x1		+ x2	− x3	= 0
	4 x1	− x2	+ 5 x3	= 3 .

	3 x1	+ 2 x2	+ x3	= 5


• Вычислим определители:
				1		1	−1							0	1	−1
				1		1	−1							0	1	−1
	∆ =			4 −1 5					= −11 , ∆1 =					3 −1 5				= 11 ,
				3		2	1							5	2	1
			1			0	−1						1		1	0
			1			0	−1						1		1	0
∆2 =			4		3 5			= −33 , ∆3 =					4		−1 3		= −22 .
			3			5	1						3		2	5
Итак, согласно формулам (15),										имеем						∆3
x1 = ∆1	=	11				= −1 , x2				= ∆2 =	−33	= 3 , x3 =						=	−22	= 2 .	•
x1 = ∆1	=	−11				= −1 , x2				= ∆2 =	−11	= 3 , x3 =						=	−11	= 2 .	•
∆		−11								∆	−11					∆			−11

2.4 Решение крамеровских систем с помощью обратной матрицы

Пусть система A X = B , как и в предыдущем пункте, является крамеровской. Так как | A |≠ 0 , то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части мат-

ричного уравнения A X = B слева на матрицу A−1 :	A−1 ( AX ) = A−1 B . По-
лучим A−1 ( AX ) = ( A−1 A )X = EX = X , поэтому
X = A−1 B .	(16)

Полученная формула позволяет получить решение крамеровской системы с

помощью обратной матрицы: нужно найти обратную матрицу A−1 для матрицы А и произвести матричное умножение согласно формуле (16).

Пример 17. Решить систему из примера 16 с помощью обратной матрицы.

	1 1			−1	x1		0
•		4	−1 5				3
•	A =	4	−1 5		, \| A \|= −11 ≠ 0 , X = x2	, B =	3	.
		3	2	1			5
		3	2	1	x3		5

Найдем обратную матрицу А−1 . Для этого вначале вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

A =	−1 5		= −11 , A = −	4	5	= 11 , A =	4	−1	= 11 ,

11	2	1	12	3	1	13	3	2

A	= −			1 −1			= −3 , A					=		1 −1					= 4 , A					= −			1 1			= 1 ,
A	= −			1 −1			= −3 , A					=		1 −1					= 4 , A					= −			1 1			= 1 ,
21				2	1					22				3			1					23					3		2
				2	1									3			1										3		2
A	=	1 −1				=		4 , A			= −				1 −1				= −9 , A						=			1 1				= −5 .
A	=	1 −1				=		4 , A			= −				1 −1				= −9 , A						=			1 1				= −5 .
31		−1 5							32						4 5									33				4 −1
																				1		−11					−3			4
Таким образом, обратная матрица A																	−1	=		1			11			4			−9
																																.
																				−11												.
																				−11			11			1			−5
																							11			1			−5
Найдем решение согласно (16):
								1	−11 −3 4												0			−1		−9 + 20 −1
			−1					1																−1
X = A					B = −					11 4							−9				3	=				12 − 45					=		3	.
X = A					B = −			11		11 4							−9				3	=		11		12 − 45					=		3	.
								11		11			1				−5				5			11			3 − 25						2
										11			1				−5				5						3 − 25						2
Итак, решение системы x1 = −1 , x2 = 3 , x3 = 2 .
Сравните с результатом в примере 16.																•

2.5 Однородные системы

Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю.

Однородная система имеет вид:

a11 x1		+ a12 x2	+ K + a1n xn		= 0
		+ a22 x2	+ K + a2n xn		= 0
a21 x1
					(17)
	K	K	K	K	K
		+ am 2 x2	+ K + amn xn = 0
am1 x1

Матричная форма записи однородной системы: A X = 0 , где 0 = ...0 –

0 m×1

нулевая матрица-столбец.

Независимо от того, будет ли число уравнений m системы меньше, равно или больше числа неизвестных n, однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение x1 = x2 = K = xn = 0 .

Важным является вопрос о том, имеются ли у однородной системы решения, отличные от нулевого.

Так как система (17) является частным случаем системы (9), то все результаты, ранее полученные для систем линейных уравнений, будут справедливы и для однородных систем. Заметим, что однородную систему полностью определяет мат-

рица коэффициентов А, поэтому использовать расширенную матрицу A | O не

будем (добавление нулевого столбца ничего не изменит).

Используя теорему о числе решений для системы (9), запишем основные результаты для однородной системы.

1. Если r( A ) = n , то система (17) имеет единственное решение, а это озна-

чает, что система имеет только нулевое решение.

В частности, если при этом m = n (квадратная система), то условие r( A ) = n равносильно условию | A |≠ 0 .

2. Если r (A) < n, то система (17) имеет бесконечное множество ненулевых решений (например, при m < n).

При этом для квадратной однородной системы условие r (A) < n равносильно условию | A |= 0 .

Пример 18. Решить однородную систему

					x1		+ x2								− x4		+ x5		= 0
					2x					+		x	3		+	3x	−	x	= 0
						1							3			4		5
							− 2x2			+ x3					+ 5 x4 − 3x5				= 0
							− 2x2			+ x3					+ 5 x4 − 3x5				= 0
					x		− 3x		2	+		2x		3	+	9x	−	5 x	= 0
						1			2					3		4		5
		1 1 0 −1 1									(−2)(−1)					1 1 0 −1 1
			2 0 1 3					− 1									−2 1 5		− 3
•	A =		2 0 1 3					− 1							→	0	−2 1 5		− 3	→
•	A =	0			−2 1 5			− 3							→	0 −2 1 5 − 3				→
		0			−2 1 5			− 3								0 −2 1 5 − 3

			1		−3 2 9			− 5									−4 2 10 −6
			1		−3 2 9			− 5								0	−4 2 10 −6
			1		1	0	−1		1
				0	−2	1	5		−	3
	→			0	−2	1	5		−	3		.
	→		0		0	0	0		0			.
			0		0	0	0		0

				0	0	0	0		0
				0	0	0	0		0
	Получили r = r( A ) = 2 . Число переменных n = 5 . Так как r = 2 < n = 5, то

система имеет бесконечное множество решений. В качестве базисных неизвестных возьмём, например, x1 , x3 , а x2 , x4 , x5 – свободными.


x1 + x2		− x4 + x5		= 0		.
Последней матрице соответствует система	− 2 x2	+ x3 + 5 x4 −	3x5 =		0

	x1	= −x2 + x4	− x5		.•
Из последней системы легко найти общее решение:		= 2 x23 − 5 x4 +
	x3			3x5

3.ЗАДАЧИ

3.1Задачи с решениями

1.	Пусть			1 −1				3 1				2 1
1.	Пусть		A =			, B =				, C =				.
				2 3				−2 4					1 2
Вычислить определитель матрицы ( 2 A − B ) C .
			2 −2		, 2 A − B				2 −2			3 1			−1 −3				,
•	2 A =				, 2 A − B			=			−			=	6		2		,
			4 6						4 6 −2 4						6		2
			−1 −3				2 1 −1 2 −3 1 −1 1−3 2										−5 −7
( 2A−B ) C =								=	6 2 +2 1 6 1+2					=			14 10			.
				6 2			1 2		6 2 +2 1 6 1+2					2			14 10
\| ( 2 A − B ) C \| =						−5 −7		= −50 − 14 ( −7 ) = 48 .							•
\| ( 2 A − B ) C \| =						−5 −7		= −50 − 14 ( −7 ) = 48 .							•
						14	10
2.	Дана матрица					1		2	−3			A AT		и	AT A .
2.	Дана матрица				A =			1	. Найти			A AT		и	AT A .
						0		1	2
			1	0					1 2		−3			1	0
•	T		2 1		,			T	1 2		−3			2 1				=
•	A	=	2 1		,		A A =							2 1				=
			−3 2						0 1 2			2×3		−3 2
			−3 2											−3 2		3×2

1 1 + 2 2 + ( −3 ) ( −3 ) 1 0 + 2 1 + ( −3 ) 2

14 −4

+ 2 ( −3 )

0 0

+ 1 1 + 2 2

0 1 + 1 2

2×2

−4 5

−3

2 1

A A =

−3

2×3

3×2

1 1 + 0 0

1 2 + 0 1

1 ( −3 ) + 0 2

2 −3

1 + 1 0

2 2 + 1 1

( −3 ) + 1 2

5 −4

.•

− 3 1 + 2 0 − 3 2 + 2 1 − 3

( −3 ) + 2 2

−3

−4 13

3×3

Найти х и y из матричного равенства

−1 2 x

y 2 3

3 0 1

x 0

− y

•

Используя определение равенства двух матриц, имеем y = –1, x = 3. •

4. При каких значениях λ	−1		1	,	λ		1	перестано-
	матрицы A =	2	−2		B =	2	− 1

вочны?

−1

λ 1 −λ + 2 − 1 − 1 −λ + 2 − 2

•

A B =

2λ − 4

−2

2 − 1 2λ − 4 2 2

λ 1 −1 1

−λ + 2 λ − 2

B A =

2 −2

− 4

−1

−2 − 2 2 + 2

Матрицы будут перестановочными, если

A B = B A , т.е.

−λ + 2 − 2 −λ + 2 λ − 2

− 4

2λ − 4

Приравнивая соответствующие элементы, получим

λ − 2 = −2 , 2λ − 4 = −4 λ = 0 . •

Решить уравнение

x − 2

= −x .

x + 3

−6

• Вычисляем определитель и приравниваем его величине (–х):

1 ( −6 ) − ( x + 3 ) ( x − 2 ) = −x − 6 − x2 − 3 x + 2 x + 6 = −x

x2 = 0 x = 0 . •

	1	2	0
6. Вычислить определитель ∆ =	−1	1	2	различными способами :
	2	0	−1

а) по правилу треугольников; б) разлагая по 1–му столбцу; в) разлагая по 3–й строке.

•а) ∆ = 1 1( −1 ) + ( −1 ) 0 0 + 2 2 2 − 2 1 0 − ( −1 ) 2 ( −1 ) − 0 2 1 =

=−1 + 8 − 2 = 5 ;

б) ∆ = 1	1 2			− ( −1 )		2	0		+ 2		2	0	= 1 ( −1 ) + 1 ( −2 ) + 2 7 = 5 ;
	0		−1			0		−1			1	2
в) ∆ = 2		2	0	− 0	1 0			+ ( −1 )		1		2	= 2 4 − 0 + ( −1 ) 3 = 5 . •
в) ∆ = 2		2	0	− 0	1 0			+ ( −1 )		1		2	= 2 4 − 0 + ( −1 ) 3 = 5 . •
		1	2		−1	2				−1		1

	−1	1	−2	3
	−1	1	−2	3
7. Вычислить определитель∆ =	4	−2	1	2	, приведя его элементарны-
	6	3	0	2
	1	−2	4	−1

ми преобразованиями к треугольному виду.

	−1 1 −2 3						( 4 ) ( 6 ) ( 1 )										−1 1			−2		3
	−1 1 −2 3						( 4 ) ( 6 ) ( 1 )										−1 1			−2		3
• ∆ =	4 −2 1				2									=		0		2 −7 14						=
• ∆ =	4 −2 1				2									=		0		2 −7 14						=
	6	3		0	2											0		9		−12		20
	1 −2 4 −1																0 −1 2					2
	1 −2 4 −1																0 −1 2					2
		−1 1 −2 3															−1 1 −2 3
		−1 1 −2 3															−1 1 −2 3
= −			0 −1		2				2	( 9 ) ( 2 ) = −							0 −1 2					2	( 0 ,5 )		=
		0		9 −12 20													0	0		6 38			( 0 ,5 )
		0		2 −7 14													0 0 −3 18
			−1	1	−2			3
			−1	1	−2			3
= −			0	−1	2			2		= −( −1 ) ( −1 ) 6 37 = −222 . •
			0	0	6	38
			0	0	0	37
											2		0	1	3			5
8. Найти ранг матрицы						A =					3	−2		−1	2			3
8. Найти ранг матрицы						A =					3	−2		−1	2			3	.
											−1		2	2	1			2
											−1		2	2	1			2
• Применим элементарные преобразования матрицы :
2		0		1 3 5								−1 2					2 1 2 ( 3 ) ( 2 )
2		0		1 3 5								−1 2					2 1 2 ( 3 ) ( 2 )
	3		−2	−1 2 3								3 −2 −1 2 3												→
A =	3		−2	−1 2 3							→	3 −2 −1 2 3												→

−1 2				2 1 2								2		0	1 3 5
−1 2				2 1 2								2		0	1 3 5
−1 2 2 1 2												−1 2 2 1 2
	0	4		5	5 9								0	4	5			5	9		. Итак, r( A ) = 2 . •
→	0	4		5	5 9	( −1 ) →							0	4	5			5	9		. Итак, r( A ) = 2 . •
	0 4 5 5 9												0 0 0 0 0
	0 4 5 5 9												0 0 0 0 0

9. Найти обратную матрицу для матрицы А:				0	2	3
−1	2
				0	4	1
а) A =	1	,	б) A =				.
3				3	1	1

•а) | A |= −1 − 6 = −7 ≠ 0.

A11 = 1, A12 = ( −1 ) 3 = −3, A21 = ( −1 ) 2 = −2, A22 = −1 .

A−1		1	1 −2		−1 / 7 2 / 7
	=		−3 −1	=	3 / 7 1 / 7	.
		−7

			0			2					3						2 3							= 3( 2 − 12 ) = −30 ≠ 0 .
			0			2					3
б) \| A \| =			0 4 1											= 3
			3			1					1						4			1
			3			1					1
A =				4 1						= 3, A = −													0 1					= 3, A =									0 4						= −12,
A =				4 1						= 3, A = −													0 1					= 3, A =									0 4						= −12,
11				1		1									12									3	1									13			3				1
				1		1																		3	1												3				1
A = −							2 3						= 1, A =											0 3				= −9, A = −														0 2			= 6 ,
A = −							2 3						= 1, A =											0 3				= −9, A = −														0 2			= 6 ,
21							1		1								22							3	1									23								3	1
							1		1															3	1																	3	1
A =					2 3					= −10, A = −																0 3				= 0 , A =										0 2				= 0.
A =					2 3					= −10, A = −																0 3				= 0 , A =										0 2				= 0.
31					4	1												32								0		1							33					0			4
					4	1																				0		1												0			4
																									1				3					1		−10
																		−1							1
																	A			=									3					−9		0						.			•
																	A			=				−30					3					−9		0						.			•
																								−30				−12						6		0
																												−12						6		0
																													1 −1 2																	5 −1
10.	Решить матричное уравнение																															0		1				−1									0	2
10.	Решить матричное уравнение																															0		1				−1				Χ =					0	2	.
																																3		0		1											−2	6
																																3		0		1											−2	6
												1 −1 2																5 −1
• Здесь							A =				0				1			−1											0					2		. Матрица А невырожденная, т. к.
• Здесь							A =				0				1			−1						, B =					0					2		. Матрица А невырожденная, т. к.
											3				0				1										−2					6
											3				0				1										−2					6
								A				= 1				1 −1						+ 3					−1 2							= 1 1 + 3 ( −1 ) = −2 ≠ 0 .


																0			1								1					−1
																0			1								1					−1
Находим обратную матрицу A−1 :
A11 = 1, A12 = −3, A13 = −3,																										A21 = 1,							A22 = −5 ,
A23 = −3, A31 = −1, A32 = 1, A33 = 1 ,
																												1	1					1				−1
																						−1						1
																			A						= −						−3			−5 1								.
																			A						= −			2			−3			−5 1								.
																												2			−3			−3					1
																															−3			−3					1
Тогда													1				1			−1						5					−1								7				−5				−7,5		2,5
													1				1			−1						5					−1								7				−5				−7,5		2,5
−1										1																										1												8,5	0,5
Χ = A		B = −												−3		−5					1						0					2		= −					−17				−1				=			.•
Χ = A		B = −												−3		−5					1						0					2		= −					−17				−1				=			.•
										2				−3		−3					1											6				2			−17				3					8,5	−3,5
														−3		−3					1			−2								6							−17				3					8,5	−3,5

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.09.2019180.19 Кб20Врясова Б-101.docx
#
19.09.2019135.93 Кб3Все ответы на маркетинг.docx
#
14.02.20153.58 Mб59все ответы.docx
#
14.02.2015345.6 Кб988Все уроки Бонк.doc
#
14.02.201537.5 Mб26Выпарные аппараты 1.pdf
#
14.02.20151.43 Mб50Высшая математика.pdf
#
14.02.2015853.94 Кб14ВЫШКА варианты.docx
#
14.02.201595.46 Кб4Гаврилкина Александра.PDF
#
21.09.201946.57 Кб1ГАК 2 этап ПБ 2011 билеты.docx
#
14.02.2015562.48 Кб48генплан.pdf
#
14.02.20151.56 Mб104геология учебное пособие.doc