Высшая математика

Возьмём на линии K произвольную точку M1(0, y1 , z1). Эта точка при вращении вокруг оси OZ будет описывать окружность, лежащую в плоскости z = z1 с центром С на оси OZ

Рисунок 35

120

и радиусом R = |y1| (рисунок 35). В силу этих условий уравнения такой окружности имеют вид:

Этим уравнениям удовлетворяет любая точка M(x, y, z), лежащая на этой окружности.

Координаты точки M1 удовлетворяют уравнению F(y1, z1)=0. Отсюда и из (47) следует, что

Это и есть искомое уравнение поверхности вращения, так как ему должны удовлетворять координаты любой точки этой поверхности.

Мы видим, что (48) получается из (46) простой заменой величины y на

± x2 + y2 , а координата z (т.е. координата по оси вращения) сохраняется. Это правило имеет общий характер. Так, если бы нам была задана линия, лежащая в

F( x , y ) = 0

плоскости OXZ, своими уравнениями: , то уравнение поверхности

z = 0

Полезным следствием из всего изложенного является следующий признак, по которому можно по ее уравнению отличить любую поверхность вращения, осью вращения которой служит одна из осей координат: две из трех координат входят в уравнение такой поверхности только в виде суммы их квадратов. Осью вращения служит та ось, координата которой входит в уравнение отдельно. Например, урав-

• а) В уравнении z = y переменную y оставляем неизменной, а переменную z

заменяем на ± x2 + z2 . Уравнение полученной поверхности вращения (рисунок

36, а)): ± x2 + z2 = y или x2 + z2 = y2 .

120

Рисунок 36

б) В уравнении z = y переменную z оставляем неизменной, а y заменяем на

± x2 + y2 . Уравнение поверхности вращения вокруг оси OZ (рисунок 36, б)):

Обе поверхности называются конусами вращения. •

121

Вид этих поверхностей аналогичен виду соответствующих им поверхностей вращения, изображенных на рисунках 37 а) – д). Кроме этих пяти поверхностей второго порядка и трёх цилиндров второго порядка, с которыми познакомились в пункте 2.4.1, существует еще только одна – девятая поверхность второго порядка, которую называют гиперболическим параболоидом. Уравнение этой поверхности

2.4.4 Метод сечений при исследовании формы поверхностей

Задачей предыдущих пунктов являлось составление уравнения поверхности по её геометрическим свойствам. Часто бывает необходимо решать другую задачу, а именно, по данному уравнению определить её геометрический вид.

Для построения поверхности по заданному уравнению используется метод сечений. Суть этого метода заключается в том, что поверхность рассекают плоскостями, параллельными координатным плоскостям. По полученным линиям в этих сечениях восстанавливают трёхмерный образ поверхности.

Разберём подробнее этот метод на примере построения гиперболического параболоида, заданного уравнением (54).

1. Рассмотрим сечение гиперболического параболоида плоскостью OXZ. При y = 0 из уравнения (54) имеем

x2 = 2pz, таким образом, сечение плоскостью OXZ определяется уравнениями

ляет собой параболу с вершиной в начале координат, ветви параболы вдоль положительного направления оси OZ, параметр этой параболы равен p.

Рисунок 38, а)

123

Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями, параллельными плоскости OXZ. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида y = h, а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями:

Эти уравнения определяют снова параболы, ветви которых также направлены в положительном направлении оси OZ. С увеличением величины h вершина парабол перемещается в отрицательном направлении оси OZ (рисунок 38, а)).

2. Рассмотрим сечение поверхности плоскостью OYZ: x = 0. Линией в сечении

OZ, с ветвями, направленными в отрицательном направлении оси OZ и как бы «сидящая верхом» на параболе x2 =2pz. При пересечении гиперболического параболоида плоскостями x = h, параллельными координатной плоскости OYZ, получатся параболы, уравнения которых будут

Рисунок 38, б)

С увеличением величины h вершина парабол перемещается в положительном направлении оси OZ (рисунок 38, б)).

3. Рассмотрим сечения поверхности, задаваемой уравнением (54), плоскостями z = h, параллельными координатной плоскости OXY.

При h = 0 (в плоскости OXY) получится

пересекающихся прямых:

Рисунок 38, в)

124

При h < 0 у гипербол действительными осями будут прямые, параллельные оси OY (рисунок 38, в)).

Совокупность линий пересечения данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям, позволяет определить вид поверхности, заданной уравнением (54) (рисунок 39).

Эта «седловидная» поверхность является гиперболическим параболоидом.

Рекомендуем читателю для усвоения метода изучения вида поверхностей при помощи сечений самому исследовать все поверхности второго порядка, определенные уравнениями (49) – (53).

Рисунок 39

3.ЗАДАЧИ

3.1Задачи с решениями

1. Даны точки M1 ( 2;−2 ), M2 ( 2; 2 ), M3 ( 2; − 1 ), M4 ( −3; 3 ).

Установить, какие из данных точек лежат на линии L, определённой уравнением x + y = 0, а какие не лежат на ней.

• Для проверки нужно подставить координаты точки в уравнение линии. В случае получения тождества сделать вывод о том, что точка лежит на линии. Иначе точка не лежит на линии.

M1 ( 2;−2 ) L , так как 2 + (–2) = 0; М2 ( 2; 2 ) L , так как 2 + 2 ≠ 0 ;

M3 ( 2; − 1 ) L, так как 2 + ( −1 ) ≠ 0 , M4 ( −3; 3 ) L , так как –3+3=0 . •

125

2. Написать общее уравнение прямой L. Исходные данные:

в) Согласно каноническому уравнению прямой (13), проходящей через две за-

г) Угловой коэффициент k1 у прямой L равен –1. Так как L1 L , то угловой

коэффициент k прямой L будет равен − 1 = 1. Уравнение прямой L по точке М1 k1

и угловому коэффициенту k = 1:

y − y1 = k( x − x1 ) y − 1 = 1 ( x − 2 ) x − y − 1 = 0.

y − y1 = k( x − x1 ) y − 0 = −1( x − 1 ) x + y − 1 = 0 . •

126

В главе 1 были рассмотрены различные методы решения линейных систем. Воспользуемся, например, формулами Крамера:

г) Используя формулу (14) и учитывая, что x1 = xB = −9, y1 = yB = 4,

127

A = 2, B = −3, C = 0, получим:

4. На плоскости даны три точки: А(1; –2), В(–300; 600), С(2000; –4000).

Доказать, что они лежат на одной прямой и записать уравнение этой прямой.

• Составим два вектора uuur

AB ={−300 −1; 600 −( −2 )} ={−301; 602} = 301 {−1; 2} и uuuur

AC ={2000 −1; −4000 −( −2 )} ={1999; −3998} =−1999 {−1; 2} .

Векторы отличаются друг от друга только числовым множителем, значит коллинеарные, а так как точка А – их общая точка, то они лежат на одной прямой. Уравнение этой прямой запишем по точке А и направляющему вектору

5. Дано уравнение гиперболы 9x2 − 16 y2 = 144 . Найти полуоси а и b; коор-

уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат.

128