Высшая математика

Таким образом, получены условия, позволяющие определить такой угол ϕ, при котором уравнение (30) приводится к виду

Задача 7. При помощи параллельного переноса системы координат добиться того, чтобы в новой системе координат число членов первой степени в уравнении

(31)стало наименьшим (если возможно, то совсем их уничтожить).

•Совершим преобразование параллельного переноса в точку O( x0 ,y0 ) , ко-

Полный анализ возможных случаев показывает, что уравнение второго порядка (30) в результате поворота и параллельного переноса координат можно привести к одному из следующих уравнений:

1) эллиптического типа (при AC − B2 > 0 ):

100

3)параболического типа (при AC − B2 = 0 ):

а) y2 = 2 px – парабола;

б) y2 = a2 – пара параллельных прямых;

в) y2 = −a2 – пустое множество (пара мнимых прямых).

Итак, уравнение второго порядка (30) определяет, кроме вырожденных случаев, или эллипс, или гиперболу, или параболу.

Пример 16. Привести к каноническому виду уравнение

4 x2 + 24 xy + 11 y2 − 24 x − 82 y + 15 = 0 .

Построить линию, заданную этим уравнением.

• Вначале найдём угол ϕ, поворот координатных осей на который обеспечит исчезновение произведения координат в данном уравнении:

Выберем, например, знак «–». Тогда π2 < 2ϕ < π π4 <ϕ < π2 . В этом случае

Подставляем эти значения х и y в исходное уравнение, делаем элементарные преобразования, в результате уравнение будет иметь вид:

4 x12 − y12 − 16 x1 − 6 y1 + 3 = 0 .

Уравнение уже стало проще, так как не содержит x1 y1 .

101

т.е. линия – гипербола с полуосями 1 и 2, центр которой по отношению к системе OX1Y1 находится в точке O2 ( 2; − 3 ) . Расположение гиперболы на рисунке 20.

Рисунок 20

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

2.1. Уравнение поверхности и уравнения линии

Важнейшим понятием аналитической геометрии в пространстве является понятие уравнения поверхности и уравнений линии. Что под этим подразумевается, мы сейчас объясним.

Введём в пространстве прямоугольную декартову систему координат OXYZ и рассмотрим какую-нибудь поверхность ∑ . Пусть М – произвольная (текущая) точка этой поверхности. Положение точки М должно подчиняться определённому

102

условию, характеризующему данное геометрическое место точек (данную поверхность ∑ ). Так как положение точки М определяется ее координатами x, y, z, то условие, определяющее положение точки М, сводится к условию, которому должны удовлетворять координаты точки М, т.е. сводится к некоторому уравнению F(x, y, z) = 0. Дадим определение.

Уравнение F(x, y, z) = 0 называется уравнением поверхности ∑ , если координаты любой точки M( x,y,z ) ∑ ему удовлетворяют, а координаты точек, не лежащих на поверхности, не удовлетворяют.

Таким образом, если известно уравнение поверхности, то относительно каждой точки пространства можно решить вопрос: лежит она на этой поверхности или нет. Для этого достаточно координаты испытуемой точки подставить в уравнение вместо переменных, если эти координаты удовлетворяют уравнению, точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют – не лежит.

Высказанное определение дает основу методам аналитической геометрии в пространстве. Суть их заключается в том, что рассматриваемые поверхности исследуются при помощи анализа их уравнений. Если же поверхность определена как геометрическое место точек, ее составляющих, то исследование начинают с вывода уравнения поверхности.

Пример 17. Составить уравнение сферы, используя её определение как геометрического места точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки (центра).

• Пусть точка C( x0 ,y0 ,z0 ) – центр сферы, R – её радиус. Тогда для произвольной точки M( x,y,z ) сферы и только для неё будет справедливо определяющее равенство:

Линию L в пространстве можно рассматривать как пересечение некоторых

двух поверхностей ∑1 и ∑2 , т.е. как геометрическое место точек, общих двум поверхностям.

Пусть F1(x, y, z) = 0 и F2(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей ∑1 и ∑2, пересекающихся по данной линии L. Тогда координаты точки М линии L удовлетворяют обоим уравнениям. Наоборот, каждая точка М, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям, лежит на линии пересечения этих поверхностей, т.е.

M L M ∑1 и M ∑2 .

Итак, линия L в пространстве задаётся системой уравнений:

F1 ( x ,y,z ) = 0

(33)

F2 ( x ,y, z ) = 0

103

Линию L в пространстве можно задать и при помощи ее параметрических уравнений, выражая для этого координаты x, y, z любой точки М линии через

Замечание. В некоторых случаях уравнение F(x, y, z) = 0 определяет не поверхность, а всего лишь линию в пространстве или совокупность изолированных друг от друга точек. В других случаях такому уравнению нельзя бывает приписать никакого геометрического смысла – если в пространстве не существует ни одной точки М(x, y, z), координаты которой удовлетворяли бы этому уравнению. Приведём пояснение этого замечания на примерах.

1)Уравнение (x – x0)2 + (y – y0)2 = 0. Это уравнение удовлетворяется только при условии, если одновременно x = x0, y = y0. Но в пространстве эти равенства определяют прямую, параллельную оси OZ, а не поверхность.

2)Уравнение (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = 0 определяет одну единственную точку М(x0, y0, z0).

3)Уравнение (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 + 1 = 0 не имеет геометрического

смысла (мнимая поверхность), так как ему не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства OXYZ.

Основным предметом изучения в данном модуле являются поверхности, определяемые по отношению к декартовым прямоугольным координатам алгебраическими уравнениями только первой и второй степени (поверхности первого и второго порядков):

Ax + By + Cz + D = 0;

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + N = 0.

Здесь A, B, C, D, … – некоторые заданные числа, называемые коэффициентами указанных уравнений. Для уравнения первой степени исключается одновременное обращение в нуль коэффициентов A, B, C, а в уравнении второй степени действительно должен присутствовать хотя бы один член второй степени, т.е. исключается случай, когда все шесть коэффициентов A, B, C, D, E, F равны нулю.

2.2 Плоскость

2.2.1 Уравнение плоскости

Установим, что поверхностями первого порядка являются только плоскости.

Теорема 1. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени

104

Доказательство. Пусть задана прямоугольная декартова система координат OXYZ. Рассмотрим произвольную плоскость Р и докажем, что эта плоскость определяется уравнением первой степени. Для доказательства возьмём на плоскости

Р

какую-нибудь точку М1(x1 , y1 , z1) и выберем, кроме того, какой угодно ненулевой вектор nr ={A,B,C}, перпендикулярный к плоскости Р (рисунок 21).

Пусть М(x, y, z) – произвольная точка. Она лежит на плоскости Р в том и

Рисунок 21 Признаком перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их

Это и есть искомое уравнение плоскости Р, так как ему удовлетворяют коорди-

наты x, y, z точки М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости Р uuuuur r

(т.е. когда M1 M n ).

Раскрывая скобки, представим (36) в виде

Ax + By + Cz + (–Ax1 – By1 – Cz1) = 0.

Обозначая число –Ax1 – By1 – Cz1 буквой D, получим: Ax + By + Cz + D = 0. Мы видим, что плоскость Р действительно определяется уравнением первой

степени (35). Теорема доказана.

Замечание. Каждый ненулевой вектор, перпендикулярный к некоторой плоскости, называется нормальным к ней вектором. Употребляя это название, можно сказать, что уравнение (36) есть уравнение плоскости, проходящей через точку

М1( x1 , y1 , z1 ) и имеющей нормальный вектор nr ={A,B,C}. Уравнение вида (35) называется общим уравнением плоскости.

Теорема 2. В декартовых координатах каждое уравнение первой степени всегда определяет плоскость.

Доказательство. Считая заданной какую-нибудь декартову прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольное уравнение первой степени (35):

105

Ax + By + Cz + D = 0 с условием, что A2 + B2 + C2 ≠ 0 (исключен случай равенства нулю всех трех коэффициентов A, B, C ).

Выберем одно из решений x1, y1, z1 уравнения (35), т.е. тройку чисел, которая этому уравнению удовлетворяет:

Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0.

Вычитая из уравнения (35) последнее равенство, получим:

A(x – x1)+B(y – y1)+C(z – z1) = 0.

Левую часть этого соотношения можно рассматривать как скалярное произве- uuuuur

дение двух векторов: nr ={A,B,C} и M1 M ={x − x1 , y − y1 , z − z1} . Так как uuuuur r

скалярное произведение векторов равно нулю, то M1 M n . А это означает, что

все точки М, координаты x, y, z которых удовлетворяют уравнению (35), лежат в плоскости, проходящей через точку М1( x1 , y1 , z1 ) перпендикулярно вектору nr ={A,B,C}. Теорема доказана.

Разложим определитель по первой строке:

тогда уравнение (37) можно записать в виде A(x – x1)+B(y – y1)+C(z – z1) = 0.

•

106

Замечание. Три точки определяют положение единственной плоскости, если они не лежат на одной прямой (почему?).

Пример 18. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку М1(3; –4; 1) перпендикулярно двум плоскостям:

2.2.2 Расстояние от точки до плоскости

Задача 2. Вычислить расстояние r(M1 , P) от точки М1( x1 , y1 , z1 ) до плос-

кости P : Ax + By + Cx + D = 0 .

107

= | Ax1 + By1 + Cz1 − ( Ax0 + By0 + Cz0 )| .

A2 + B2 + C 2

Так как точка M0 P , то Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, отсюда Ax0 +By0 + Cz0= – D.

2.2.3 Взаимное расположение плоскостей

Пусть заданы две плоскости P1 и Р2 своими общими уравнениями

P1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 , P2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 .

Взаимное расположение этих плоскостей вполне определяется их нормальными

В этом случае расширенная матрица системы ( ) приводится к следующему виду:

случае ранг системы будет равен единице.

108

Например, плоскости P1 : 3x – 5y + 6z – 9 = 0 и P2 : –6x + 10y – 12z – 3 = 0

параллельны, так как −36 = −105 = −612 = − 21 , но не совпадают, так как −−93 ≠ − 21 .

2) Плоскости P1 и Р2 непараллельные.

В этом случае плоскости будут пересекаться под некоторым углом (рисунок 25). Двугранный угол между плоскостями определяется линейным углом MON, образованным перпендикулярами OM и ON к линии пересечения плоскостей. Этот угол равен

или дополняет до 180° угол между векторами

Угол между векторами можно определить, используя скалярное произведение:

Частный случай (условие перпендикулярности плоскостей):

P1 P2 n1 nr2 nr1 nr2 = 0 A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .

Пример 20. Найти угол между плоскостями

P1 : x + y – z + 2 = 0 и P2 : 2x – y + z – 1 = 0 .

2.3Прямая линия в пространстве

2.3.1Уравнения прямой

Прямую линию L в пространстве можно определить как пересечение двух

непараллельных плоскостей P1 и P2 , т.е. L = P1 ∩ P2.

Систему уравнений

109