Высшая математика

где А – заданная невырожденная квадратная матрица порядка n; В и С – заданные матрицы размеров соответственно n ×m и m ×n ; X и Y – искомые матрицы размеров соответственно n ×m и m ×n .

Действительно, так как квадратная матрица А невырожденная, то существует

обратная матрица A−1 . Проделаем следующие действия с уравнениями:

A X = B A−1 ( A X ) = A−1 B ( A−1 A) X = A−1 B

E X = A−1 B X = A−1 B ;

Y A = C (Y A ) A−1 = C A−1 Y ( A A−1 ) = C A−1

Y E = C A−1 Y = C A−1 .

Таким образом, каждое из рассматриваемых уравнений имеет единственное решение X = A−1 B , Y = C A−1 .

1.4Ранг матрицы

Уквадратной матрицы А имеется числовая характеристика – её определитель | A | . У произвольной матрицы А (и для квадратной в частности) есть числовая

характеристика – её ранг. Рассмотрим это важное понятие.

21

Пусть в матрице A = ( aij )m×n выбраны произвольно k строк и k столбцов

( k ≤ min{m , n}) .

Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой будем называть минором k -го порядка матрицы А.

лучен пересечением 1-й, 2-й строк и 1-го, 3-го столбцов, а минор 3-го порядка

Среди возможных миноров матрицы могут быть как отличные от нуля, так и нулевые миноры.

Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы А называется её рангом.

Таким образом, если ранг матрицы А равен r , то это означает, что среди миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры порядка r + 1 и выше равны нулю.

Ранг матрицы А будем обозначать так: r, или r( A ) , или rang( A ) .

Замечания.

1.Ранг нулевой матрицы принимается равным нулю.

2.Для любой ненулевой матрицы Am×n имеем неравенство:

1≤ r( A ) ≤ min{m , n}.

3.Ранг квадратной матрицы А равен её порядку тогда и только тогда, когда матрица невырожденная, т.е. det A ≠ 0 .

• r( A ) = 1 , т.к. все миноры 2-го порядка (наибольшего порядка для этой мат-

(элементы этой матрицы) не равны нулю.

22

r( B ) = 2 . Действительно, все миноры 3-го порядка (наибольшего порядка для матрицы В) равны нулю, так как содержат две пропорциональные строки (1-я и 3-я

Вычисление ранга матрицы путём перебора её миноров является весьма трудоёмкой задачей. Значительно проще находить ранг матрицы при помощи элементарных преобразований, введённых в пункте 1.2.

Рассмотрим применение элементарных преобразований матрицы для вычисления её ранга.

Для нахождения ранга матрицы Am×n её приводят элементарными преобразо-

ваниями к матрице С трапециевидной (ступенчатой) формы:

Здесь все элементы c11 , c22 , K ,crr отличны от нуля.

Теорема 3. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга, т.е. r( A ) = r( C ).

Утверждение теоремы верно в силу свойств определителей. Действительно, при элементарных преобразованиях определители (миноры) если и изменят свои значения, то только на знак, т.е. ненулевые миноры так и останутся ненулевыми, а нулевые миноры – нулевыми. Эти пояснения конечно нельзя считать строгим доказательством теоремы.

Теорема 4. Ранг матрицы С трапециевидной формы равен числу r её ненулевых строк.

Действительно, минор r - го порядка

0 0 K crr

а все миноры большего порядка содержат нулевую строку, поэтому будут равны нулю.

23

Итак, для нахождения ранга матрицы достаточно привести её с помощью элементарных преобразований к трапециевидной форме и подсчитать число ненулевых строк.

Здесь выполнены последовательно следующие элементарные преобразования:

1)первую строку, умноженную на числа (–2), 1, ( –3), прибавили поочередно ко второй, третьей и четвертой строкам;

2)переставили столбцы – второй и третий, так как во второй строке на диагонали оказался ноль;

3)вторую строку, умноженную на (–1), (–4), прибавили поочередно к третьей и четвертой строкам;

4)переставили столбцы – третий и четвертый;

5)третью строку, умноженную на (–2), прибавили к четвертой строке.

Ранг последней матрицы трапециевидной формы равен 3, такой же ранг и у исходной матрицы: r( A ) = 3 . •

24

Наряду с матрицей системы А будем рассматривать также расширенную матрицу системы A | B , получаемую из матрицы А добавлением столбца свободных членов:

Столбец свободных членов для удобства отделен вертикальной чертой. Номер столбца соответствует номеру неизвестной, а номер строки – номеру уравнения.

Очевидно, что система линейных уравнений (9) или (10) полностью определя-

26

Решением системы (9) называется такая совокупность чисел

Наша задача состоит в нахождении решений системы (9), причём мы не делаем заранее никаких предположений относительно коэффициентов и свободных членов системы и даже относительно числа уравнений и числа неизвестных. Поэтому могут быть различные случаи.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.

ствовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно и нулю и единице.

Система может иметь бесконечное множество решений, как, например, система x1 − x2 = 0 , состоящая из одного уравнения ( m = 1 , n = 2 ) . Решением этой системы является любая пара одинаковых чисел.

Две системы будем называть эквивалентными, если они или обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.

Следующие пункты будут посвящены различным методам решения систем линейных уравнений.

2.2 Метод Гаусса

Рассмотрим общий случай системы (9), имеющей m уравнений с n неизвестными. Универсальным методом решения таких систем является метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Идея метода заключается в том, что данную систему преобразуют в эквивалентную ей систему специального вида, которую уже легко будет решить.

Для этого рассмотрим элементарные преобразования системы (9):

1)перестановка любых двух уравнений;

2)умножение одного из уравнений на любое ненулевое число;

27

3) прибавление к одному уравнению другого, умноженного предварительно на произвольное число.

Замечания.

1.Каждое из перечисленных элементарных преобразований, а, значит, и любая их последовательность, переводит линейную систему в эквивалентную.

2.Элементарные преобразования системы уравнений равносильны элементар-

ным преобразованиям над строками ее расширенной матрицы A | B . Поэтому, в

дальнейшем описание метода Гаусса будет проводиться с использованием расширенной матрицы (11).

Как и при вычислении ранга матрицы с помощью элементарных преобразований, будем приводить матрицу A | B к трапециевидной форме. Система уравне-

ний, конечно, изменится, но будет эквивалентной исходной.

Обращаем внимание, что в расширенной матрице столбец свободных членов, стоящий справа от черты, особый и его не переставляют. Другие столбцы переставлять можно, но при этом следует помнить, каким неизвестным после этого будут отвечать столбцы матрицы. Если возникнут нулевые строки, то их можно отбросить, так как это означает, что в преобразованной системе появились уравне- ния–тождества вида 0 ≡ 0 .

Пусть ранг матрицы А равен r. Тогда в результате элементарных преобразова-

где cii ≠ 0 ( i = 1, 2, K , r ) .

По свойствам элементарных преобразований r( A | B ) = r( A1 | B1 ) и

r( A ) = r( A1 ) = r . Напомним, что матрица А1 – матрица слева от вертикальной

черты в (12).

Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Если в матрице A1 | B1 хотя бы одно из чисел dr +1 , ... , dm ненулевое, например dk , то r( A1 | B1 ) = r( A | B ) > r . Очевидно, что система уравне-

ний, соответствующая расширенной матрице (12), а, значит, и исходная система (9), будут несовместными, так как в системе будут иметься уравнения вида

28

0 = dk ≠ 0 .

Случай 2. Пусть теперь dr +1 = K = dm = 0. Покажем, что в этом случае система совместна и получим решение. При этом возможны два варианта.

Вариант 1. Пусть r = n . Система уравнений после преобразований примет

треугольный вид:

Эту систему легко решить, двигаясь снизу вверх (обратный ход метода Гаусса). Из последнего уравнения находим xn = dn / cnn и подставляем найденное

значение xn в предпоследнее уравнение, найдём из него значение xn−1 и т.д., дойдём до первого уравнения, из которого найдём x1 , определив до этого

x2 , K , xn .

Следовательно, система линейных уравнений (13), а, значит, и система (9) при r( A ) = r( A | B ) = r = n имеет единственное решение (система совместная и

определённая).

Вариант 2. Пусть r < n (r > n не может быть).

Система уравнений после преобразований будет иметь трапециевидную форму:

треугольного вида. Решая эту систему обратным ходом метода Гаусса, получим неизвестные x1 , K , xr , называемые базисными, через неизвестные xr +1 , K ,xn ,

называемые свободными.

Формулы, выражающие базисные неизвестные через свободные неизвестные, называется общим решением системы.

29

Отметим, что свободных переменных ( n – r ) штук, и им можно давать любые значения. При конкретных значениях свободных неизвестных получаются част-

ные решения.

Таким образом, при r < n система имеет бесконечное множество частных решений (система совместная и неопределённая).

Итак, алгоритм метода Гаусса показывает (случай 1), что несовместность линейной системы связана с несовпадением r( A ) и r( A | B ) . Этот результат явля-

ется содержанием теоремы Кронекера-Капелли.

Теорема 5 (Кронекера-Капелли).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Полученные результаты в случае 2 можно также записать в виде теоремы:

Теорема 6 ( о числе решений).

Совместная система имеет единственное решение, если ранг матрицы системы r равен числу неизвестных n , т.е. r = n.

• Выпишем расширенную матрицу системы и проделаем элементарные преоб-

Согласно теореме Кронекера–Капелли система несовместна.

30