Исследование свойств окружности по её уравнению

1. Пресечение с осями координат:

• С ОХ: Пусть у=0, тогда . Отсюда делаем вывод, что (-R;0), (R;0)- точки пересечения с осью ОХ.

• С ОУ: Пусть х=0, тогда 0²+у²=R². Отсюда делаем вывод, что (0;-R),(0;R)- точки пресечения с осью ОУ.

Следовательно, у окружности с центром в начале координат область допустимых значений для и длязакрытый интервал.

Вывод: Окружность вписана в квадрат с размером стороны 2R.[1.С.99]

2) Симметрия окружности:

• Относительно оси ОХ и оси ОУ, так как окружность имеет общие точки пересечения с осями координат.

Пусть принадлежит окружности, т. Е- верное равенство.

Точка симметрична точкеМ₀ относительно оси ОХ. Подставим координаты точки М₁ в уравнение окружности ,отсюда имеем: - верное равенство.

Следовательно, М₁ принадлежит окружности, отсюда следует, что окружность симметрична относительно оси ОХ.

Точка симметрична точкеМ₀ относительно оси ОУ, следовательно, окружность симметрична относительно оси ОУ.

Точка симметрична точке М₀ относительно О (центра), следовательно, окружность симметрична относительно начала координат. [1.С.99-100]

3. Эксцентриситет окружности:

Определение 1.2. Отношение называется эксцентриситетом окружности. Для окружности эксцентриситет окружности равен нулю.

3. Касательная к окружности:

Определение 1.3. Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности.

Определение 1.4. Общая точка окружности и касательной называется точкой касания прямой и окружности.

Пусть точка принадлежит окружности, тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

[1.С.100]

ЭЛЛИПС

Определение 2.1. Эллипс - множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.

Общий вид уравнения

Исследование свойств эллипса по его уравнению

1) Пересечение эллипса с осями координат:

• Найдем точки пересечения эллипса с осью ОХ: Пусть y=0, тогда уравнение эллипса имеет вид: , следовательно.

Отсюда следует, что точки (-a,0),(a,0) являются точками пересечения с осью ОХ.

• Найдем точки пересечения эллипса с осью ОУ: Пусть х=0,отсюда имеем: , отсюда.

Следовательно, точки (-b,0),(b,0)являются точками пересечения с осью ОУ.

Отсюда заключаем, что границы эллипса , отображающие его схематичное построение. (чертеж 9.) [1.С. 105]

Чертеж 9.

Расстояние |A₁A₂| = 2a называется большой (фокальной) осью эллипса, расстояние |B₁B₂| = 2b называется малой осью эллипса. Расстояния от начала координат до вершин A₂(a, 0), B₂(0, b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Вывод: Таким образом, заключаем, что эллипс вписан в прямоугольник с размерами 2a, 2b (чертеж 10.).

Чертеж 10.

2) Симметрия эллипса относительно координатных осей ox и oy:

Пусть принадлежит эллипсу, т. е- верное равенство.

Точка симметрична точкеотносительно оси ОХ

- верное равенство.

Следовательно, принадлежит эллипсу, отсюда заключаем, что эллипс симметричен относительно ОХ

Точка симметрична точкеотносительно оси ОУ, следовательно, эллипс симметричен относительно оси ОУ.

Точка симметрична точкеотносительно О (центра), следовательно, эллипс симметричен относительно начала координат.[1.С.105-106]

2. Фокусы эллипса:

Пусть фокусы эллипса лежат на оси ОX. Межфокусное расстояние эллипса равно причем . Заметим, что

. [1.С.106]