Вывод уравнения окружности

Введем прямоугольную систему координат так, что:

1. М₀(x_0;y₀) - центр окружности, совпадающий с началом системы координат и . Пусть- текущая точка окружности.(чертеж 2.)

Чертеж 2.

Если центр окружности находится в начале координат, то x₀=0, y₀=0. В этом случае уравнение окружности имеет вид:

,

так как по определению окружности и.

b) Пусть не совпадает с началом системы координат. По построению окружности:

=тогдаили возведя обе части в квадрат получим:

(1)

где уравнение окружности радиусаR c центром в точке с координатами

(чертеж 3.)

Иногда уравнение окружности пишут так: - канонический вид уравнения окружности с центром в точкес координатами

и радиусом R.

Чертеж 3.

Изображение окружности

• Построим окружность центром в точке и радиусом равным 1.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 1.(чертеж 4.)

Чертеж 4.

b) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:

Уравнение окружности имеет вид: . Для построения линии в программеMathcad уравнение нужно привести к виду: (чертеж 5.)

Чертеж 5.

• Построим окружность центром в точке и радиусом равным 5.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 5.(чертеж 6.)

Чертеж 6.

b) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:

Уравнение окружности имеет вид: . Для построения линии в программеMathcad уравнение нужно привести к виду: (чертеж 7.)

Чертеж 7.

Вывод уравнения эллипса

Введем прямоугольную систему координат. Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. Е.– межфокусное расстояние эллипса. (чертеж 8.) [8.С.467]

Чертеж 8.

Пусть – произвольная точка эллипса. Величиныназываютсяфокальными радиусами точки М эллипса. По определению эллипса: r₁ + r₂ = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

(2)

Преобразуем уравнение, умножим уравнение (2) на , получим:

(3)

Сложим уравнения (2) и (3):

(4)

Возведем равенство(4) в квадрат, получим:

Пусть так как, откуда уравнение имеет вид:

где (5) каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат.

Соответственно, отсюда получаем уравнение:

где каноническое уравнение эллипса с центром в точке . Где числа а и b соответственно большая и малая полуоси эллипса. Заметим, что а >с Если а < , то фокусы эллипса будут лежать на осиОУ, если а = , то эллипс превращается в окружность.

_Точки , называютсявершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника, ограниченного прямыми

Изображение эллипса

• Построим эллипс с центром в точке и с большей осью равной 14 и меньшей осью равной 10.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=14,2b=10 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-7;0),(7;0),(0;-5),(0;5) принадлежали эллипсу.(чертеж 14.)

Чертеж 14.

2. С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение эллипса имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 15.)

Чертеж 15.

• Дано параметрическое уравнение эллипса , построить данную линию второго порядка.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=8,2b=14 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-4;0),(4;0),(0;-7),(0;7) принадлежали эллипсу.(чертеж 16.)

Чертеж 16.

2. С использованием ЭСО- Mathcad:

Для построения линии в Mathcad приведем ее к виду: ,.(чертеж 17.)

Чертеж 17.