Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1265 вузов, 4638 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский федеральный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

A_G_2014

.pdf
Скачиваний:
43
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
2.75 Mб
Скачать
☆

§ 4. Неразложимые неотрицательные матрицы

341

и x 2 = 1, т. е. x ≠ 0. В силу леммы 4, с. 336, последовательность {ρ(Ak)} не возрастает и ограничена снизу числом ρ(A). По-

этому lim ρ(Ak) = r > ρ(A). Переходя к пределу в равенствах

k→∞

Aki xki = ρ(Aki )xki при i → ∞, получим Ax = rx, т. е. r — характеристическое число матрицы A, поэтому r 6 ρ(A), следователь-

но, r = ρ(A).

2. Теорема. Пусть A — неотрицательная матрица порядка n. Тогда

ρ(A) = max

min

(Ax)i

.

(3.1)

 

x>0, x̸=0 16i6n, xi̸=0

xi

 

Доказательство. Положим f(x) =

min (Ax)i/xi

для

 

 

16i6n, xi̸=0

 

x > 0, x ̸= 0. Нетрудно убедиться, что f(x)x 6 Ax. Тем более,

 

f(x)x 6 Akx,

 

 

(3.2)

где Ak — матрица, определенная в доказательстве предыдущей теоремы. Как мы уже знаем, существует положительный вектор y такой, что ATk y = ρ(Ak)y. Из (3.2) очевидным образом получаем, что f(x)(x, y) 6 (Akx, y) = ρ(Ak)(x, y). Отсюда вследствие положительности (x, y) вытекает, что f(x) 6 ρ(Ak). Как было установлено при

доказательстве предыдущей теоремы, lim ρ(Ak) = ρ(A), поэтому

k→∞

f(x) 6 ρ(A) для любого x > 0, x ≠ 0. В то же время, теорема 1 гарантирует существование неотрицательного ненулевого вектора z такого, что Az = ρ(A)z. Очевидно, что f(z) = ρ(A).

Упражнение. Докажите, что

ρ(A) = min

max

(Ax)i

.

 

x>0, x̸=0 16i6n, xi̸=0

xi

§4. Неразложимые неотрицательные матрицы

1.Теорема. Пусть A — неразложимая неотрицательная матрица. Тогда существует положительный вектор x такой, что Ax = ρ(A)x.

Доказательство. Из теоремы 1 предыдущего параграфа вытекает существование ненулевого неотрицательного вектора x такого, что Ax = ρ(A)x. Покажем, что на самом деле x > 0. Пусть n —

342

Глава 19. Неотрицательные матрицы

порядок матрицы A. Для выбранного нами вектора x выполнено равенство (I + A)n−1x = (1 + ρ(A))n−1x. По лемме 5.3, с. 337, матрица (I + A)n−1 положительна, следовательно, вектор y = (I + A)n−1x положителен, но тогда и вектор x = (1 + ρ(A))1−ny положителен.

Упражнение. Докажите, что теорема 6, с. 340, справедлива и для неотрицательных неразложимых матриц.

2. Теорема. Пусть A — неразложимая неотрицательная матрица. Тогда алгебраическая кратность характеристического числа ρ(A) матрицы A равна единице.

Доказательство. Пусть λ1, λ2, . . . , λn — характеристические числа матрицы A (с учетом их кратностей). Существует невырожденная матрица T такая, что A = T JT −1, где J — треугольная матрица с диагональными элементами, равными λ1, λ2, . . . , λn (например, J — жорданова форма A). Очевидно, (I + A)n−1 = T (I + J)n−1T −1 и, следовательно, все характеристические числа матрицы (I + A)n−1 совпадают с диагональными элементами треугольной матрицы (I + J)n−1, т. е. вычисляются по формулам (1 + λk)n−1, k = 1, 2, . . . , n. Нетрудно убедиться (сделайте рисунок!), что |1 + λk| 6 1 + ρ(A), для всех k = 1, 2, . . . , n, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда λk = ρ(A). По теореме 1 среди характеристических чисел матрицы A есть равные ρ(A). Поэтому спектральный радиус матрицы (I + A)n−1 равен (1 + ρ(A))n−1. Матрица (I + A)n−1 при принятых нами условиях положительна, следовательно, (1 + ρ(A))n−1 — ее алгебраически простое характеристическое число, значит, среди всех характеристических чисел матрицы A (с учетом их кратностей) найдется только одно, равное ρ(A).

3. Через S(A) будем далее обозначать окружность с центром в начале координат радиуса ρ(A). Окружность S(A) называют спектральной окружностью матрицы A. Если матрица A неразложима и неотрицательна, то среди ее характеристических чисел может оказаться несколько, лежащих на S(A). Такова, например, матрица

()

0 1 A = 1 0 .

Характеристические числа этой матрицы делят ее спектральную окружность пополам.

Оказывается, что характеристические числа любой неразложимой неотрицательной матрицы распределяются по ее спектральной окружности аналогично.

Чтобы установить это, нам потребуется

§ 4. Неразложимые неотрицательные матрицы

343

4. Теорема. Пусть A — неразложимая неотрицательная матрица, |B| 6 A. Если при этом ρ(B) = ρ(A), и µ — характеристическое число матрицы B такое, что µ = q0ρ(A), |q0| = 1, то матрицы B и q0A подобны.

Доказательство. По условию теоремы существует не равный нулю вектор x такой, что Bx = µx. Справедлива цепочка соотноше-

ний

 

 

ρ(A)|x| = |µx| = |Bx| 6 |B||x| 6 A|x|.

(4.1)

Покажем, что z = A|x| − ρ(A)|x| =

T0. Прежде всего

заметим,

что z > 0. Далее, поскольку матрица A

так же, как и матрица A,

неотрицательна и неразложима, то по теореме 1 существует положительный вектор y такой, что AT y = ρ(A)y. Тогда получаем, что (z, y) = (A|x|, y) − ρ(A)(|x|, y) = 0, а это невозможно, если z ≠ 0. Таким образом, A|x| = ρ(A)|x|, и из (4.1) вытекает, что (A−|B|)|x| = 0. Поскольку A−|B| > 0, а вследствие теорем 1, 2 справедливо неравенство |x| > 0, отсюда получаем, что |B| = A. Положим qk = xk/|xk|,

k = 1, 2, . . . , n, D = diag(q1, q2, . . . , qn). Очевидно, что |qk|

= 1,

k = 1, 2, . . . , n,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D|x| = x, BD|x| = Bx = q0ρ(A)x = q0DA|x|,

 

 

следовательно,

(q−1D−1BD

−

A) x

|

= 0

. Пусть

C = q−1D−1BD

.

0

|

 

0

 

Нетрудно видеть, что |C| = |B|, значит, |C| = A, и, таким образом, (|C| − C)|x| = 0. Отделяя вещественную и мнимую части матрицы C − |C|, получим, что (|C| − Re C)|x| = 0. Очевидно, что Re C 6 |C|, следовательно, |C| = Re C, т. е. C = |C|, C = A, и B = Dq0AD−1.

5. Теорема. Пусть A — неразложимая неотрицательная матрица и пусть λ0, λ1, . . . , λp−1 — все характеристические числа матрицы A, принадлежащие S(A)1). Тогда все они алгебраически

простые и

 

 

 

 

λk = ρ(A) (cos

πk

 

πk

), k = 0, 1, 2, . . . , p − 1.

 

2

+ i sin

2

(4.2)

p

p

Доказательство. При p = 1 доказываемое утверждение — очевидное следствие теорем 1, 2. Пусть p > 1, и пусть λ = qρ(A) S(A) есть характеристическое число матрицы A. Используем теорему 4, полагая B = A, µ = λ. Получим, что матрицы A и qA подобны. Значит, их характеристические числа (с учетом кратностей) совпадают.

1)Для определенности считаем их упорядоченными по неубыванию аргумента.

344 Глава 19. Неотрицательные матрицы

Каждое характеристическое число матрицы A, принадлежащее S(A), есть qρ(A) при соответствующем выборе q, |q| = 1. По теореме 2 число ρ(A) — алгебраически простое характеристическое число матрицы A. Поэтому все характеристические числа матрицы A, лежащие на S(A), алгебраически простые. Пусть qρ(A), qρ˜ (A) S(A) — ха-

−1 ˜ ˜ −1

рактеристические числа матрицы A. Тогда A = qDAD = q˜DAD , следовательно,

˜ −1 ˜ −1 ˜ ˜ −1 −1 −1

A = DDqqAD˜ D = (DD)˜qqA(DD) , A = D q AD.

Отсюда вытекает, что (˜qq)ρ(A), q−1ρ(A) — характеристические чис-

ла матрицы A. Таким образом, если ρ(A), q1ρ(A), . . . , qp−1ρ(A) — все характеристические числа матрицы A, принадлежащие S(A), то

множество чисел G = {q0 = 1, q1, . . . , qp−1} таково, что если q G, то q−1 G, если q, q˜ G, то qq˜ G. Упорядочим все числа из G по

возрастанию аргумента. Ясно, что qk G лишь, если qk/q1 = qk−1,

k = 2, 3, . . . , p − 1; qp−1q1 G лишь при условии, что qp−1q1 = 1. Отсюда следует, что arg qk = (2π/p)k, k = 0, 1, . . . , p − 1, т. е. форму-

ла (4.2) доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 5 следует, что если на спектральной окружности лежат p характеристических чисел неразложимой неотрицательной матрицы A, то матрицы A и q1A, где q1 = cos(2π/p) + i sin(2π/p) подобны. Поэтому вся система характеристических чисел матрицы A инвариантна относительно поворота плоскости на угол 2π/p.

Упражнение. Сделайте рисунок, показывающей расположение всех характеристических чисел неразложимой неотрицательной матрицы A. Особо разберите случай, когда матрица A невырождена, а n — простое число.

Замечание 2. В ходе доказательства теоремы 5 установлено, что множество G — конечная абелева группа. Обоснование на языке теории групп того, что точки G — корни степени p из единицы см., например, в [10] (по списку дополнительной литературы), задача 1637.

Предметный указатель

Аксиомы

 

 

 

— высота, 211

 

 

 

— линейного пространства, 113, 115

Векторов

 

 

 

— нормы

 

 

 

— векторное произведение, 51

 

— — векторной, 320

 

 

— внешнее произведение, 246

 

— — матричной, 324

 

 

— вычитание, 46

 

 

 

— скалярного

произведения

(в

веще-

— диада, 245

 

 

 

ственном пространстве), 127

 

— линейная комбинация, 118

 

— скалярного

произведения

(в

ком-

— — нетривиальная, 118

 

плексном пространстве), 128

 

— подсистема максимальная, 121

 

Алгебраическое дополнение, 77

 

— система

 

 

 

Базис

 

 

 

— — линейно зависимая, 117

 

— в пространстве полиномов

 

 

— — линейно независимая, 119

 

— — естественный, 126

 

 

— — ортогональная, 134

 

— взаимный, 56, 139

 

 

— — ортонорированная , 134

 

— декартов

 

 

 

— системы ранг, 122

 

 

— — обобщенный, 47

 

 

— системы эквивалентные, 119

 

— жорданов, 204

 

 

— скалярное произведение, 48, 129

 

— Лагранжа, 126

 

 

— — стандартное

в

пространстве

Cn,

— Ньютона, 126

 

 

129

 

 

 

— основной, 56, 139

 

 

— — стандартное

в

пространстве

Rn,

— пространства, 47

 

 

128

 

 

 

— — Cn естественный, 122

 

 

— сложение, 45, 113

 

 

— — конечномерного, 123

 

 

— смешанное произведение, 54

 

— сингулярный, 239

 

 

— тензорное произведение, 245

 

— Тейлора, 165

 

 

 

Векторы

 

 

 

— Фурье, 140

 

 

 

— коллинеарные, 45, 117

 

Базиса

 

 

 

— компланарные, 46

 

 

— ориентация, 51

 

 

— ортогональные, 132

 

Блок

 

 

 

— равные, 113

 

 

 

— жорданов, 203

 

 

Вращение

 

 

 

Вектор, 43, 112, 115

 

 

— несобственное, 255

 

 

— единичный, 113, 114

 

 

— собственное, 254

 

 

— неотрицательный, 336

 

 

Гипербола, 278

 

 

 

— нулевой, 43, 112, 114

 

 

Гиперболоид, 301

 

 

 

— положительный, 336

 

 

— двуполостный, 293

 

 

— циклический, 211

 

 

— однополостный, 292

 

Вектора

 

 

 

Гиперболы

 

 

 

— декартовы координаты, 44

 

 

— асимптоты, 280

 

 

 

— компоненты, 112

 

 

— вершины, 280

 

 

 

— — ковариантные, 139

 

 

— центр симметрии, 280

 

— — контравариантные, 139

 

 

Гиперплоскость, 153

 

 

— координаты, 47, 123

 

 

Гиперповерхности второго порядка

 

— модуль, 44, 128, 132

 

 

— каноническая форма, 302

 

— умножение на число, 44, 113

 

— приведенная форма, 300

 

Вектора циклического

 

 

Гиперповерхность второго порядка, 300

346

Предметный указатель

Диагональное преобладание, 304

— неотрицательная, 224, 336

— по столбцам, 331

— нижняя треугольная

Дополнение

— — элементарная, 89

— ортогональное, 153

— нильпотентная, 201

Замена переменных

— нормальная, 109

— линейная, 258

— нулевая, 88

Инверсия, 73

— обратная, 96

Клетка

— — левая, 96

— жорданова, 203

— — правая, 96

Комплексного числа

— ортогональная, 108

— аргумент, 13

— отражения, 256

— вещественная часть, 9

— перестановки, 88

— мнимая часть часть, 9

— перестановок, 337

— модуль, 11

— перехода, 125

— тригонометрическое представление,

— положительная, 336

13

— положительно определенная, 224

Комплексное число

— преобразования переменных, 258

— нулевое, 10

— присоединенная, 97

— сопряженное, 11

— прямоугольная, 87

Комплексных чисел

— разложимая, 337

— вычитание, 9

— симметричная, 108

— деление, 11

— системы линейных алгебраических

— сложение, 9

уравнений, 83

— умножение, 10

— сопряженная, 107

Конус, 301

— сходящаяся, 213

— эллиптический, 291

— транспонированная, 78, 94

Корень

— треугольная

— из оператора, 237

— — верхняя, 80

— из комплексного числа, 16

— — нижняя, 80

Коэффициенты перекоса, 333

— унитарная, 108

Кривая второго порядка, 273

— эрмитова, 107

Критерий

Матрицы

— Сильвестра, 264

— инварианты, 193

Матриц

— инерция, 262

— произведение, 92

— конгруэнтные, 261

— сумма, 89

— норма

Матрица

— — векторная, 324

— блочная, 109

— — матричная, 324

— вещественная, 108

— — подчиненная, 326

— вращения, 255

— — спектральная, 328

— вырожденная, 95

— — столбцовая, 327

— Гильберта, 152

— — строчная, 328

— Грама, 133

— — Фробениуса (евклидова), 325

— диагональная, 88

— перестановочные, 92

— единичная, 88

— подобные, 166

— жорданова, 202

— разложение

— квадратная, 75

— — треугольное, 106

— кососимметричная, 108

— ранг, 168

— косоэрмитова, 107

— собственный вектор, 185

— Неразложимая, 337

— спектр, 185

— невырожденная, 95

— спектральная окружность, 342

Предметный указатель

347

— спектральный радиус, 213

— линейный, 155

— умножение

— невырожденный, 167

— — на число, 89

— неотрицательный, 223

— характериситческие числа, 185

— нильпотентный, 201

— характеристический полином, 185

— нормальный, 225

Метод

— нулевой, 156

— Гаусса, 99

— обратимый, 158

— Зейделя, 305

— обратный, 157

— Лагранжа (выделения полных квад-

— ортогональный, 249

ратов), 259

— положительно определеннный, 223

— релаксации, 307

— проектирования, 156

— Якоби, 304, 313

— — оротогонального, 156

Минор, 77

— простой структуры, 189

— базисный, 171

— разложения по базису, 159

— главный, 105

— растяжения

— диагональный, 191

— — левый, 244

— окаймляющий, 171

— — правый, 244

Мнимая единица, 8

— самосопряженный (эрмитов), 221

Многочлен, 18

— скалярный, 163

— нулевой, 18

— сопряженный, 217

— прведенный (нормированный), 22

— унитарный, 224

Многочлена

Оператора

— корень, 21

— дефект, 161

— — кратный, 21

— жорданово представление, 202

— — простой, 21

— инвариантное подпространство, 181

— коэффициенты, 18

— инварианты, 191

— порядок, 18

— индекс нильпотентности, 201

Многочленов

— компоненты

— деление, 20

— — ковариантные, 246

Невязка, 220

— — контравариантные, 246

Невязки

— — смешанные, 246

— функция (функционал), 220

— матрица, 162

Неравенство

— область значений

— Бесселя, 150

— — образ, 160

— Гёльдера, 318

— определитель, 167

— Коши, 50, 318

— полярное разложение, 244

— Коши — Буняковского, 131

— ранг, 161

— Минковского, 128, 318

— след, 193

— треугольника, 50, 128, 320

— собственная пара, 183

— треугольника (Минковского), 132

— собственное число, 183

— Юнга, 318

— собственный вектор, 183

Норма

— собственое подпространство, 183

— на пространстве Cn, 320

— спектр, 186

— — абсолютная, 323

— спектральное представление , 190

— — монотонная, 323

— сужение, 183

Нормы

— характеристический полином, 186

— эквивалентные, 321

— характристические числа, 186

Оператор

— ядро, 160

— единичный, 156

Операторов

— кососимметричный, 248

— линейная комбинация, 156

— косоэрмитов, 221

— линейное пространство, 168

348

Предметный указатель

— — вещественное, 168

— тривиальное, 181

— произведение, 156

— циклическое, 210

— пространство

Полином, 18

— — евклидово, 244

Полиномы

— — евклидово вещественное, 249

— Лежандра, 141

— скалярное произведение, 244

— Чебышева, 141

Операторы

Праболоид, 302

— перестановочные, 185

Преобразование

Определитель, 75

— переменных

— Вандермонда, 81

— — аффинное, 266

Определителя

— подобия, 166

— разложение

— пространства, 155

— — по столбцу, 77

Приближенеие

— — по строке, 77

— наилучшее, 148

— свойства

Приближения

— — третьего порядка, 34

— наилушего элемент, 154

Отображение, 155

Проекция

— линейное, 155

— ортогональная, 150

Парабола, 282

Пространства

Параболоид

— изоморфные, 159

— гиперболический, 290

— размерность, 123

— эллиптический, 288

Пространство

Параболы

— Cn, 114

— вершина, 282

— Rn, 112

— директриса, 282

— арифметическое, 128

— фокус, 282

— бесконечномерное, 124

Параметр

— векторое, 115

— итерационный, 307

— евклидово

— релаксационный, 307

— — вещественное, 129

Переменные

— — комплексное (унитарное), 130

— свободные, 178

— конечномерное, 123

Перестановка, 72

— линейное

— нечетная, 73

— — вещественное, 115

— четная, 73

— — комплексное, 115

Перестановки

Процесс

— сигнатура, 73

— ортогонализации Грама — Шмидта,

Поверхность

136

— линейчатая, 293

Псевдорешение, 220

Поверхность второго порядка, 285

— нормальное, 242

Подпространств

Разложение

— пересечение, 145

— ортогональное, 153

— сумма, 144

Расстояние

— — ортогональная, 146

— между двумя точками, 56

— — прямая, 145

— от точки до прямой, 61

Подпространства

Решение

— базис, 145

— линейного уравнения

— ортогональные, 146

— — общее, 174

— размерность, 145

— — частное, 174

Подпространство, 144

— однородного линейного уравнения

— корневое, 210

— — общее, 174

— нулевое, 145

— тривиальное, 83

Предметный указатель

349

Решений

Уравнение

— система фундаментальная

— отрезка прямой, 57

— — однородного уравнения, 174

— плоскости, 63

Символ

— — нормальное, 63

— Кронекера, 42

— — общее, 64

Система координат

— прямой, 59

— декартова, 43

— — в пространстве, 66

Система линейных алгебраических

— — каноническое, 67

уравнений

— — нормальная форма, 60

— крамеровская, 83

— — общая форма, 60

— однородная, 83

— сферы, 57

Собственного числа кратность

Форм квадратичных

— алгебраическая, 189

— закон инерции, 263

— геометрическая, 189

Форма

Собственных значений проблема

— квадратичная, 258

— обобщенная, 238

— — положительно определенная, 264

Столбец, 87

— линейная, 216

Строка, 87

Формула

Схема Горнера, 20

— интерполяционная

Сходимость

— — Лагранжа, 86

— по норме, 321

— Муавра, 15

— покомпонентная, 321

— площади треугольника, 58

Теорема

— Родрига, 137

— алгебры основная, 22

— Сильвестра, 190

— Безу, 21

Формулы

— Гершгорина, 332

— Вьета, 25

— Грама — Шмидта, 135

— Крамера, 85

— Кронекера — Капелли, 176

Формы

— Кэли — Гамильтона, 211

— квадратичной

— Рисса, 216

— — инерция, 262

— Самарского, 308

— — канонический вид, 259

— Фредгольма, 220

Функции квадратичной

— — матричная, 176

— инварианты

— Шура, 198

— — аффинные, 266

Теоремы

— — ортогональные, 266

— Бауэра — Файка, 333

— форма приведенная, 269

Теория Перрона — Фробениуса, 336

Функционал

Тождество

— линейный, 216

— Пифагора, 131

Функция

Транспозиция, 73

— выпуклая, 317

Трансформация Гаусса, 221

— квадратичная, 265

Угол

Фурье

— между векторами, 132

— коэффициенты, 138

— между прямыми, 62

Цилиндр, 302

Умножение

— гипеболический, 287

— матрицы

— параболический, 287

— — на вектор, 90

— эллиптический, 287

— матриц, 92

Число

— строки

— комплексное, 9

— — на матрицу, 91

— мнимое, 8

— — на столбец, 90

— обусловленности, 243

350

Предметный указатель

— сингулярное, 239

— полуоси, 279

Эллипс, 278

— фокусы, 279

Эллипса

— центр симметрии, 279

— вершины, 279

— эксцентриситет, 279

— оси симметрии, 279

Эллипсоид, 290, 301
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности