A_G_2014

2. Псевдорешение существует при любой правой части уравнения (5.1). В самом деле, в соответствии с разложением (4.1), с. 219, представим вектор y в виде y = y1 + y0, где y1 Im(A), y0 Ker(A ). Тогда для любого x Xn вектор Ax − y1 принадлежит Im(A), и,

следовательно,

F (x) = |Ax − y1|2 + |y0|2.

Очевидно, что минимальное значение функции F равно |y0|2 и достигается на векторе x, являющемся решением уравнения

Поскольку y1 Im(A), уравнение (5.2) разрешимо.

3. При любом y Ym уравнение

разрешимо. Всякое его решение — псевдорешение уравнения (5.1). Действительно, так как A y0 = 0, то уравнение (5.3) эквивалентно уравнению

Уравнение (5.4) разрешимо, так как каждое решение уравнения (5.2) есть решение уравнения (5.4). Обратно, если x — решение уравнения (5.4), то вектор Ax − y1 Ker(A ) и, следовательно (см. (4.1), с. 219), ортогонален Im(A), но, с другой стороны, Ax − y1 Im(A), значит Ax − y1 = 0, т. е. x — решение уравнения (5.2).

Уравнение (5.3) называют трансформацией Гаусса уравнения (5.1). Трансформация Гаусса любого линейного уравнения приводит к разрешимому уравнению.

§6. Самосопряженный и косоэрмитов операторы

1.Оператор A : Xn → Xn называется самосопряженным (эрмитовым), если A = A, иными словами, если

Оператор A : Xn → Xn называется косоэрмитовым, если A = −A, то есть

Упражнение. Показать, что если оператор A самосопряжен, то скалярное произведение (Ax, x) вещественно для любого x Xn;

Отсюда, используя условие (6.4), получаем, что Re(Ax, y) = 0. Последнее равенство выполнено для любого y Xn. Поэтому можно заменить y, на iy, но Re(Ax, iy) = Im(Ax, y). Таким образом, получаем, что (Ax, y) = 0 для любых x, y Xn. Полагая y = Ax, будем иметь, что |Ax| = 0 для любого x Xn, т. е. A = 0. Итак, в случае самосопряженного оператора A утверждение теоремы доказано. Пусть теперь A — произвольный оператор. Если (Ax, x) = 0, то вследствие (6.3) с учетом самосопряженности операторов H1, H2 получаем, что (H1x, x) = 0, (H2x, x) = 0 для любого x Xn, откуда, вновь учитывая самосопряженность операторов H1, H2, получим, что H1, H2 = 0.

1.4. Лемма. Если для оператора A, действующего в евклидовом пространстве Xn, скалярное произведение (Ax, x) вещественно при любом x Xn, то оператор A самосопряжен.

Доказательство. Если (Ax, x) — вещественное число, то из (6.3) следует, что ((A − A)x, x) = 0, откуда по теореме 1.3 получаем, что A − A = 0.

Совершенно аналогично доказывается

1.5. Лемма. Если для оператора A, действующего в евклидовом пространстве Xn, скалярное произведение (Ax, x) при любом x Xn — мнимое число, то оператор A косоэрмитов.

Таким образом, справедлива

1.6. Теорема. Для того, чтобы оператор A, действующий в евклидовом пространстве Xn, был самосопряжен необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение (Ax, x) было вещественным при любом x Xn. Для того, чтобы оператор A, действующий в евклидовом пространстве Xn, был косоэрмитов необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение (Ax, x) было мнимым при любом x Xn.

§ 7. Неотрицательный и положительно определенный операторы

Самосопряженный оператор A называется неотрицательным, ес-

ли

Самосопряженный оператор A называется положительно определенным, если

Упражнения.

1)Покажите, что для того чтобы оператор был унитарным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в любом ортонормированном базисе пространства Xn была унитарна (см. с. 108).

2)Покажите, что определитель унитарного оператора по модулю равен единице.

3)Покажите, что произведение унитарных операторов — унитарный оператор.

2. Если оператор A унитарен, то для любых x, y Xn имеем (Ax, Ay) = (x, A Ay) = (x, y), т. е. унитарный оператор не меняет скалярного произведения векторов, и, следовательно, унитарный оператор не меняет длин векторов.

3. Обратно, если линейный оператор не меняет скалярного произведения любых двух векторов из Xn, то он унитарен. В самом деле, из равенства (Ax, Ay) = (x, y) вытекает, что (x, A Ay) = (x, y). Нетрудно убедиться, что, поскольку последнее равенство выполнено для любых x, y Xn, то

Докажем, что равенство AA = I также выполняется. Из равенства (8.2) вытекает, что det(A) ≠ 0, следовательно, оператор A имеет обратный. Умножая обе части равенства (8.2) слева на A, а затем справа на A−1, получим, что AA = I.

Упражнение. Покажите, что если для любого x Xn выполнено равенство |Ax| = |x|, то A — унитарный оператор.

4. Таким образом, оператор A : Xn → Xn является унитарным тогда и только тогда, когда он не меняет длины никакого вектора пространства Xn.

§9. Нормальный оператор

1.Оператор A, действующий в евклидовом пространстве Xn, называется нормальным, если AA = A A. Самосопряженный, косоэрмитов и унитарный операторы, очевидно, — нормальные операторы.

Для того, чтобы оператор A был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в любом ортонормированном базисе пространства Xn была нормальной (см. определение на с. 109).

2. Теорема. Пусть A : Xn → Xn — нормальный оператор. Тогда Ker(A) = Ker(A ).

Доказательство. Пусть Ax = 0. Тогда

0 = (Ax, Ax) = (A Ax, x) = (AA x, x) = (A x, A x),

следовательно, A x = 0. Эти же выкладки показывают, что если A x = 0, то Ax = 0.

Из теоремы 2 и теоремы 1, с. 219, немедленно вытекает

3.Следствие. Пусть A : Xn → Xn — нормальный оператор. Тогда Xn = Ker(A) Im(A) = Ker(A ) Im(A ), Im(A) = Im(A ).

4.Теорема. Пусть A : Xn → Xn — нормальный оператор, x,

¯

λ — собственная пара оператора A, т. е. Ax = λx. Тогда x, λ — собственная пара оператора A .

Доказательство. Нетрудно убедиться, что если A — нормальный оператор, то при любом λ C оператор A − λI — также

¯

нормальный оператор, причем (A − λI) = A − λI, следователь-

¯

но, Ker(A − λI) = Ker(A − λI).

5. Все собственные числа самосопряженного оператора вещественны. Все собственные числа косоэрмитва оператора чисто мнимые. Действительно, всякий самосопряженный оператор A является нормальным, поэтому, если x, λ — собственная пара оператора A,

¯ ¯

то Ax = λx и Ax = λx, следовательно, (λ − λ)x = 0, но вектор x,

¯

как собственный вектор, не равен нулю, значит, λ = λ. Аналогично, если x, λ — собственная пара косоэрмитва оператора A, то выполня-

¯ ¯

ются равенства Ax = λx, Ax = −λx, следовательно, λ = −λ.

6. Все собственные числа унитарного оператора по модулю равны единице. В самом деле, если Ax= λx, x ≠ 0, то поскольку для унитарного оператора |Ax| = |x| (см. п. 4, с. 225), то |λ||x| = |Ax| = |x|, т. е. |λ| = 1.

Укажем на очевидное, но полезное

7. Следствие. У всякой эрмитовой матрицы все характеристические числа вещественны; у всякой косоэрмитовой матрицы все характеристические числа чисто мнимые; у всякой унитарной матрицы все характеристические числа по модулю равны единице.

Упражнение. Покажите, что определитель самосопряженного оператора — вещественное число (см. также п. 2, с. 107).

8. Теорема. Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным собственным числам, ортогональны.

Доказательство. Действительно, пусть A — нормальный оператор, Ax = λx, Ay = µy, λ ≠ µ. Тогда λ(x, y) = (Ax, y) = (x, A y). По теореме 4 имеем A y = µy¯ , следовательно, (x, A y) = µ(x, y), значит, λ(x, y) = µ(x, y). Поскольку λ ≠ µ, то (x, y) = 0.

9. Теорема. Пусть A — линейный оператор, действующий в

пространстве Xn. Для того, чтобы существовал ортонормирован-

ный базис {ek}nk=1 Xn такой, что Aek = λkek, k = 1, 2, . . . , n, необходимо и достаточно, чтобы оператор A был нормальным.

Доказательство. Н е о б х о д и м о с т ь. Матрицы взаимно сопряженных операторов в ортонормированном базисе взаимно сопряжены (см. п. 2, с. 219). Поэтому, если

Ae = diag(λ1, λ2, . . . , λn)

есть матрица оператора A в ортонормированном базисе {ek}nk=1, то матрицей оператора A в этом же базисе будет матрица

¯ ¯ ¯

Ae = diag(λ1, λ2, . . . , λn).

Матрица произведения операторов есть произведение их матриц (см. п. 7, с. 163), диагональные матрицы, очевидно, перестановочны, сле-

довательно,

(A A)e = AeAe = AeAe = (AA )e,

так же доказывается, что подпространство Ln−1 инвариантно относи-

так же, как и раньше, покажем, что существует нормированный век-

¯

тор e3 Ln−2 и число λ3 такие, что Ae3 = λ3e3, A e3 = λ3e3. Продолжая этот процесс, мы построим ортонормированную систе-

¯

му векторов {ek}nk=1 Xn такую, что Aek = λkek, A ek = λkek, k = 1, 2, . . . , n.

Замечания.

1)В теореме 9, фактически, утверждается, что для каждого нормального оператора существует ортонормированный базис, в котором его матрица принимает диагональный вид, причем на диагонали матрицы расположены все собственные числа этого оператора. Таким образом, всякий нормальный оператор есть оператор простой структуры (см. п. 6, с. 189).

2)Часто оказывается полезной следующая эквивалентная формулировка указанного результата: пусть λ1, λ2, . . . , λk, k 6 n, есть все попарно различные собственные числа нормального операто-

ра A : Xn → Xn, Lλi , i = 1, 2, . . . , k, — соответствующие собственные подпространства оператора A. Тогда

где Pi — оператор ортогонального проектирования пространства Xn на подпространство Lλi , i = 1, 2, . . . , k.

10. Упражнения.

1) Пусть A — вещественная квадратная матрица порядка n такая, что AT A = AAT . Опираясь на теорему 9, показать, что существует система векторов {ξk}nk=1 Cn, ортонормированная в смысле стандартного скалярного произведения пространства Cn, и такие

числа λ1, λ2, . . . , λn, что Aξk = λkξk, k = 1, 2, . . . , n. Причем, если число λk вещественно, то и вектор ξk можно выбрать вещественным.

2)Докажите, что если у нормального оператора все собственные числа вещественны, то он — самосопряженный оператор; если у нормального оператора все собственные числа чисто мнимые, то он — косоэрмитов оператор; если у нормального оператора все собственные числа по модулю равны единице, то он — унитарный оператор.

3)Пусть A, B — нормальные операторы, характеристические полиномы которых совпадают. Докажите, что тогда существует унитарный оператор Q такой, что B = QAQ .

4)Пусть A — нормальный оператор, Q — унитарный оператор.

ратора , e = — оператор ортогонального проектирования

A Pi QPiQ

пространства Xn на подпространство QLλi , i = 1, 2, . . . , k.

§10. Вариационные свойства собственных чисел самосопряженного оператора 229

11.Теорема. Для того, чтобы нормальные операторы A, B были перестановочными, необходимо и достаточно, чтобы у них был общий ортонормированный базис собственных векторов.

Доказательство. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть {ej}nk=1 —

общий базис собственных векторов операторов A, B, т. е. Aek = λkek,

Bek = µkek, k = 1, 2, . . . , n. Тогда BAek=λkµkek, ABek = λkµkek для k = 1, 2, . . . , n, т. е. на векторах базиса операторы AB, BA совпадают,

но тогда они совпадают и на любом векторе пространства Xn.

Н е о б х о д и м о с т ь. Воспользуемся представлением пространства Xn в виде ортогональной суммы (9.1) собственных подпространств оператора A, отвечающих попарно различным собственным числам этого оператора. По лемме 6.1, с. 185, каждое из подпространств Lλi инвариантно относительно оператора B. Поскольку B — нормальный оператор, то в этом подпространстве существует ортонормированный базис собственных векторов оператора B. Объединение всех указанных базисов, очевидно, образует базис пространства Xn, причем по построению все векторы этого базиса — собственные векторы оператора A.

§ 10. Вариационные свойства собственных чисел самосопряженного оператора

1. Напомним, что оператор A : Xn → Xn называется самосопряженным, если

Напомним также, что все собственные числа самосопряженного оператора вещественны, существует ортонормированный базис пространства Xn, составленный из собственных векторов оператора A, собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным числам, ортогональны.

2. Пусть A : Xn → Xn — самосопряженный оператор, а λ1, λ2, . . . , λn — его собственные числа, {ek}nk=1 — ортонормированный базис собственных векторов. Будем считать, что собственные числа упорядочены по возрастанию, т. е.

Подчеркнем, что мы рассматриваем как собственные числа оператора все характеристические числа его матрицы, т. е. кратные характеристические числа повторяются столько раз, какова их кратность, поэтому, вообще говоря, неравенства в (3.5) являются нестрогими.

230 Глава 12. Операторы в евклидовом пространстве

Пусть p, q — целые числа такие, что 1 6 p 6 q 6 n. Обозначим через Lpq подпространство пространства Xn, натянутое на век-

следовательно, (10.3) доказано и для любого x ≠ 0 из Lpq справедливы неравенства