A_G_2014

Базис {φk}nk=0−1 принято называть базисом Фурье. Он широко используется, например, при цифровой обработке сигналов (звуковых, видео).

В реальных задачах n (это длина обрабатываемого сигнала) велико, в связи с чем используются специальные приемы экономного вычисления сумм вида (10.4), (10.5), называемые алгоритмами быстрого дискретного преобразования Фурье (FFT, Fast Fourier Transformation).

2. Примеры ортогональных базисов в пространстве Pn полиномов с вещественными коэффициентами. Рассматривается множество всех полиномов вида Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a0, где коэффициенты a0, a0, . . . , an — произвольные вещественные числа, x может принимать произвольные вещественные значения, n > 0 — фиксированное целое число. Очевидно, что указанное множество полиномов есть вещественное линейное пространство, если понимать операции сложения двух полиномов и умножения полинома на число обычным образом.

2.1. Полиномы Лежандра. Определим в пространстве Pn скалярное произведение по формуле

Тогда полиномы Лежандра P0, P1, . . . , Pn (см. (6.3), (6.4), с. 137) образуют ортогональный базис в пространстве Pn.

2.2. Полиномы Чебышева1). Определим теперь скалярное произведение в пространстве Pn при помощи соотношения

Введем в рассмотрение полиномы Чебышева. Так называют полиномы, вычисляемые при помощи следующих рекуррентных формул:

1)Пафнутий Львович Чебышев (произносится как Чебышёв ; 1821 — 1894) — русский математик и механик.

Здесь k — степень полинома.

Нам потребуется явная формула для полиномов Чебышева. Будем разыскивать значение Tk(x) в виде Tk(x) = λk. Используя это представление в рекуррентной формуле (10.9), получим

λk+1 = 2xλk − λk−1,

откуда, предполагая, что λ ≠ 0, приходим к квадратному уравнению

λ2 − 2xλ + 1 = 0

для определения λ. Корни этого уравнения

а следовательно, и функции

Tk(x) = c1Tk(1)(x) + c2Tk(2)(x),

k = 0, 1, . . . , где c1, c2 — произвольные постоянные, удовлетворяют рекуррентному соотношению (10.9). Выберем c1, c2 так, чтобы были выполнены условия (10.8):

удовлетворяют рекуррентному соотношению (10.9) и условиям (10.8). При |x| 6 1 полиномам Чебышева можно придать более компактный вид. Положим в этом случае x = cos φ. Тогда

Tk(x) = 12 (cos φ + i sin φ)k + 12 (cos φ − i sin φ)k ,

откуда, используя формулу Муавра (см. (3.7), c. 15), получим, что Tk(x) = cos kφ, или

Полиномы Чебышева ортогональны в смысле скалярного произведения (10.7). Действительно, используя представление (10.10), можем написать, что

при k ≠ l.

Таким образом, полиномы Чебышева T0, T1, . . . , Tn образуют ортогональный базис в смысле скалярного произведения (10.7) в пространстве Pn полиномов с вещественными коэффициентами.

Глава 8

Подпространства

§1. Сумма и пересечение подпространств

1.Множество L векторов линейного пространства X называется подпространством, если из того, что векторы x, y принадлежат L, вытекает, что вектор αx + βy при любых комплексных числах α, β также принадлежит множеству L.

Тривиальные примеры подпространств: все пространство X является подпространством; множество, состоящее только из одного вектора, равного нулю, является подпространством.

Поскольку по определению наряду с вектором x подпространству должен принадлежать и вектор 0x, то всякое подпространство содержит нулевой вектор.

Упражнения.

1)Пусть a1, a2, . . . , am, m > 1, — произвольным образом фик-

сированные векторы пространства X. Докажите, что множество всех

линейных комбинаций x1a1 +x2a2 +· · ·+xmam — подпространство. Говорят, что это подпространство натянуто на векторы a1, a2, . . . , am.

2)Пусть a1, a2 — векторы пространства X, причем a2 ≠ 0. Множество L векторов вида a1 + αa2, где α пробегает множество всех комплексных чисел, называется прямой, проходящей через точку a1

внаправлении вектора a2. Показать, что множество L является подпространством тогда и только тогда, когда векторы a1, a2 линейно зависимы.

2. Пусть L1, L2 — подпространства пространства X. Множество L всех векторов вида a1 +a2, где a1 L1, a2 L2 называется суммой подпространств L1, L2. Используют обозначение: L = L1 + L2.

Так определенное множество L — подпространство. Действитель-

но, пусть векторы x, y L. Это означает, что существуют векторы a1, b1 L1, a2, b2 L2 такие, что x = a1 + a2, y = b1 + b2. Пусть α, β — произвольные комплексные числа. Тогда

αx + βy = α(a1 + a2) + β(b1 + b2) = (αa1 + βb1) + (αa2 + βb2).

Поскольку L1 — подпространство, вектор αa1 + βb1 принадлежит L1. Точно так же, вектор αa2 + βb2 принадлежит L2, следовательно, вектор αx + βy принадлежит L.

3.Пересечение подпространств L1, L2, т. е. множество всех векторов, принадлежащих как L1, так и L2, также является подпространством. Действительно, пусть векторы x, y L1 ∩ L2. Для любого комплексного числа α вектор αx принадлежит как L1, так и L2,

т.е. αx L1 ∩ L2. Аналогично, для любого β вектор βy L1 ∩ L2, но тогда, очевидно, и αx + βy L1 ∩ L2.

4.Система векторов {ek}mk=1 L называется базисом подпространства L, если она линейно независима и любой вектор x L

представим в виде линейной комбинации векторов из {ek}mk=1. Число m при этом будем назвать размерностью подпространства. Размерность подпространства L обозначают через dim(L).

Подпространству, состоящему только из нулевого вектора, будем приписывать размерность, равную нулю. Это подпространство будем обозначать через {0} и называть нулевым подпространством.

Упражнение. Описать суммы и пересечения всевозможных подпространств пространства V3.

5.Для того, чтобы подпространство L конечномерного простран-

ства Xn совпадало с Xn, необходимо и достаточно выполнения равенства dim(L) = n. Справедливость этого утверждения сразу следует

из того, что любые n линейно независимых векторов пространства Xn образуют его базис (см. теорему 2.2, с. 123).

6.Очевидно, что базис {ek}mk=1 любого подпространства L из Xn

можно дополнить до базиса {ek}nk=1 всего пространства Xn. Точно так

же, если L1 и L2 — подпространства и L1 L2, то dim(L1) 6 dim(L2), и базис подпространства L1 можно дополнить до базиса подпространства L2.

7.Сумма подпространств L1 и L2 называется прямой, если

146 Глава 8. Подпространства

го x = x1 +x2 (L1 +L2) составляющие x1 L1, x2 L2 определяются однозначно. Предположим, что существует еще одно разложение

x L1 ∩L2. Тогда x L1, x L2, кроме того, очевидно, x+(−x) = 0, а так как сумма L1 и L2 прямая, то вследствие теоремы 7.1 получаем,

что x = 0, следовательно, L1 ∩ L2 = {0}.

7.3. Упражнение. Пусть L — произвольное подпространство конечномерного линейного пространства Xn. Докажите, что существует подпространство M Xn такое, что Xn = L u M.

8.Будем говорить, что подпространства L1 и L2 евклидова

пространства ортогональны (пишут L1 L2), если (x, y) = 0 для всех x L1, y L2. Сумму ортогональных подпространств будем называть ортогональной и обозначать через L1 L2.

Ортогональная сумма является прямой. В самом деле, пусть L1 L2, x1 L1, x2 L2 и x1 + x2 = 0. В силу ортогональности x1, x2, очевидно, |x1 + x2|2 = |x1|2 + |x2|2, поэтому |x1|2 + |x2|2 = 0, следовательно, x1 = x2 = 0.

9. Понятия прямой и ортогональной сумм естественным образом переносятся на случай любого конечного числа подпространств. Так, сумма подпространств L1, L2, . . . , Lk называется ортогональной, если она есть множество всех элементов вида x = x1 +x2 +· · ·+xk, xj Lj,

j = 1, 2, . . . , k, и Li Lj для i ≠ j, i, j = 1, 2, . . . , k. Теорема 7.1 легко обобщается на случай любого конечного числа подпространств.

Упражнения.

1) Покажите, что ортогональная сумма любого числа подпространств является прямой, т. е. составляющие xj Lj, j = 1, 2, . . . , k, определяются по любому x однозначно.

2) Верно ли утверждение: сумма подпространств L1 +L2 +· · ·+Lk, k > 2, является прямой, если их пересечение — нулевое подпространство?

§2. Размерность суммы подпространств

1.Теорема. Пусть L=L1 u L2 u · · · u Lk — прямая сумма конечномерных подпространств L1, L2, . . . , Lk линейного пространства X. Тогда

Доказательство. Проведем его для случая k = 2. Для произвольного k рассуждения полностью аналогичны. Пусть

есть базисы подпространств L1 и L2, соответственно. Тогда объединение этих систем векторов есть базис подпространства L1 u L2.

Действительно, для любого x L1 u L2 справедливо представление x = x1 + x2, где

x1 = α1f1 +α2f2 +· · ·+αpfp L1, x2 = β1g1 +β2g2 +· · ·+βqgq L2,

причем, если x = 0, то x1 = 0, x2 = 0, поскольку сумма L1 u L2 прямая. Вследствие того, что {fk}pk=1, {gk}qk=1 — базисы, отсюда вытека-

ет, что все числа α1, α2, . . . , αp, β1, β2, . . . , βq — нули. Таким образом, система векторов (2.2) линейно независима. Теперь совершенно ясно,

что dim(L1 u L2) = p + q.

2. Теорема. Пусть L1, L2 — произвольные конечномерные подпространства линейного пространства X. Тогда

Доказательство. Пространство G = L1 ∩ L2, очевидно, конеч-

номерно. Пусть Gl = {gi}li=1 — базис G, и пусть векторы Fk = {fi}ki=1 дополняют его до базиса пространства L1, а векторы Hm = {hi}mi=1 —

до базиса пространства L2. Обозначим через F подпространство пространства X, натянутое на векторы Fk, а через H — натянутое на векторы Hm. Покажем, что

2. Теорема. Для любого x X в любом конечномерном подпространстве L X существует единственное наилучшее приближение.

Доказательство. Если L = {0}, то единственным наилучшим приближением к x будет нулевой вектор. Поэтому далее полагаем, что L ≠ {0}. Пусть y, z L. Представим z в виде z = y + h, h L. Тогда

(x − z, x − z) = (x − y − h, x − y − h) =

= (x − y, x − y) − (x − y, h) − (h, x − y) + (h, h).

Отсюда очевидным образом получаем, что если (x − y, h) = 0 для любого h L, то (3.1) выполнено. Обратно, если выполнено (3.1), то

−(x − y, h) − (h, x − y) + (h, h) > 0 h L.

Заменив h на h1 = ((x − y, h)/|h|2)h, получим −|(x − y, h)|2/|h|2 > 0, следовательно, (x −y, h) = 0. Итак, для того чтобы вектор y L был

наилучшим приближением к вектору x X, необходимо и достаточно, чтобы

Иными словами, вектор x − y должен быть ортогонален подпространству L. Геометрически этот вывод вполне очевиден (см. рис. 2). Вектор y, удовлетворяющий условию (3.2), если он существует, одно-

Рис. 2. К доказательству теоремы 2

значно определяется по вектору x. В самом деле, пусть существует еще один вектор y˜ L такой, что (x − y,˜ h) = 0 для любого h L. Тогда (y − y,˜ h) = 0 для любого h L. Полагая h = y − y˜, получим, что y = y˜. Докажем теперь, что существует вектор y L, удовлетворяющий условию (3.2). Пусть {ek}mk=1 — базис подпространства L. Условие (3.2) эквивалентно тому, что