A_G_2014

(например, элементы второй строки и второго столбца). Если все эти определители второго порядка — нули, то, очевидно, у матрицы только один линейно независимый столбец (и одна линейно независимая строка). Значит, ранг матрицы равен единице.

4) Если обнаружен ненулевой определитель второго порядка, то путем перестановки строк и столбцов матрицы превращаем этот определитель в определитель вида ∆2 (образованный элементами, стоящими на перерсечении первых двух строк и первых двух столбцов) и окаймлением строим определители третьего порядка, пока не получим среди них определитель, отличный от нуля, и т. д.

Если на каком-то шаге описанного алгоритма получен определитель ∆r, не равный нулю, а все определители порядка r + 1, построенные его окаймлением, — нули, то это означает, что ранг матрицы равен r.

Понятно, что описанный процесс зачастую может быть ускорен. Именно, пусть удалось установить, что определитель, образованный элементами, стоящими на пересечении каких-то r строк и каких-то r столбцов матрицы, не равен нулю. Строим окаймлением этого определителя определители порядка r+1. Если среди них есть ненулевой, процесс продолжается. Если все такие определители — нули, то ранг матрицы равен r.

окаймляющие минор d ′, очевидно, равны нулю, поэтому ранг матрицы A равен трем.

§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия разрешимости 175

§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия разрешимости

1. При фактическом построении решений уравнения

нужно ввести некоторые базисы En = {ek}nk=1, Qm = {qk}mk=1 в пространствах Xn, Ym и перейти к системе линейных алгебраических

уравнений относительно коэффициентов ξ разложения вектора x по базису En, считая известными коэффициенты η разложения вектора y по базису Qm. В результате (см. п. 2, с. 162), получим

Подчеркнем, что коэффициенты a(ijeq) этой системы уравнений (элементы матрицы оператора A) и столбец правой части η1, η2, . . . , ηm предполагаются известными, а числа ξ1, ξ2, . . . , ξn требуется найти.

В отличие от рассматривавшихся ранее систем линейных алгебраических уравнений (см. § 5, гл. 5) у системы уравнений (2.3) количество уравнений и число неизвестных, вообще говоря, различны.

Задачи (2.1), (2.2) эквивалентны в том смысле, что если ξ — решение уравнения (2.2), то x = Enξ — решение уравнения (2.1) при y = Qmη, и наоборот, если x — решение уравнения (2.1), то коэффициенты разложения векторов x, y по соответствующим базисам связаны соотношением (2.2).

2. Получим необходимые и достаточные условия разрешимости системы линейных алгебраических уравнений

где A = A(m, n) — заданная прямоугольная матрица с комплексными, вообще говоря, элементами, b — заданный вектор из Cm.

Обозначим через (A, b) матрицу размера m×(n+ 1), получающуюся присоединением к матрице A столбца b. Матрицу (A, b) принято называть расширенной матрицей системы (2.4).

3.Теорема Кронекера — Капелли1). Для того, чтобы система уравнений (2.4) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранги матриц A и (A, b) совпадали.

Доказательство. Добавление столбца не уменьшает ранга матрицы, и, очевидно, что ранг сохраняется тогда и только тогда,

когда b есть линейная комбинация столбцов матрицы A. Последнее

эквивалентно тому, что существует вектор x Cn, являющийся решением системы (2.4).

4.Теорема (матричная теорема Фредгольма2)). Для того, чтобы система линейных уравнений (2.4) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы для любого решения однородной системы уравнений zA = 0 выполнялось равенство zb = 0.

Поясним, что здесь b интерпретируется как вектор столбец, а z — как вектор строка.

Доказательство. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть r = rank(A). Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что первые r строк матрицы A линейно независимы, Понятно, что тогда и первые r строк матрицы (A, b) линейно независимы. Если k-я строка матрицы A линейно выражается через ее первые r строк, то существует ненулевой вектор z такой, что zA = 0. Тогда по условию теоремы zb = 0, но это означает, что k-я строка матрицы (A, b) линейно выражается через ее первые r строк. Таким образом, ранги матриц A и (A, b) совпадают, и по теореме Кронекера — Капелли система (2.4) имеет решение. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть система уравнений (2.4) имеет решение, т. е. существует вектор x Cn такой, что Ax = b. Тогда для любого z Cm справедливо равенство zAx = zb. Очевидно, что если zA = 0, то zb = 0.

4.1. Приведем пример использования матричной теоремы Фред-

1)Альфредо Капелли (Alfredo Capelli; 1858 — 1916) — итальянский математик.

2)Эрик Ивар Фредгольм (Erik Ivar Fredholm; 1866 — 1927) — шведский математик.

этой матрицы отличен от нуля, а все строки преобразованной матрицы (A, b) начиная с (r + 1)-й есть линейные комбинации первых r строк.

Выполняемые указанным способом преобразования приводят, очевидно, к системе линейных уравнений, эквивалентной системе (3.1), т. е. каждое решение системы (3.1) — решение преобразованной системы, и, наоборот, каждое решение преобразованной системы есть решение системы (3.1). При этом последние m − r уравнений преобразованной системы — следствия первых r уравнений.

Отбросим эти последние уравнения, а в оставшихся r уравнениях перенесем слагаемые, содержащие переменные с (r + 1)-й до n-й (эти переменные принято называть свободными), в правую часть.

Придадим свободным переменным xr+1, . . . , xn любые значения (чаще всего, нет никаких причин не брать их равными нулю). В результате, получим систему из r уравнений с r неизвестными, определитель которой по построению отличен от нуля. Решив эту крамеровскую систему уравнений, найдем x1, x2, . . . , xr. Таким образом,

будет построен вектор x = (x1, x2, . . . , xr, xr+1, . . . , xn), являющийся решением системы (3.1).

Пример. Найдем частное решение системы уравнений

окаймляющие определитель ∆2, — нули. Поэтому ранг основной матрицы системы уравнений равен двум, и ранг расширенной матрицы системы уравнений равен двум. Система совместна, причем последнее уравнение — следствие первых двух уравнений системы. Таким образом, чтобы найти частное решение системы (3.2) – (3.4), достаточно решить систему двух уравнений (3.2) – (3.3), придавая x3, x4 произвольные значения. Полагая x3 = x4 = 0, находим x1 = 6, x2 = 2, следовательно, вектор x = (6, 2, 0, 0) — решение системы (3.2) – (3.4).

2. Обратимся теперь к задаче построения фундаментальной системы решений однородной системы уравнений

§ 3. Построение общего решения системы линейных алгебраических уравнений 179

с матрицей размера m × n. Пусть rank(A) = r. Вследствие теоремы 4, с. 161, достаточно построить любые n −r линейно независимых решений однородной системы уравнений (3.5). Будем, естественно, предполагать, что n > r.

Выполнив те же действия, что и в п. 1, приведем систему уравнений (3.5) к эквивалентной системе вида

Здесь A(r, r) — невырожденная матрица, столбец y((n − r), 1) соответствует свободным переменным. Выберем векторы

так, чтобы они были линейно независимы (проще всего их взять как векторы стандартного базиса пространства Cn−r). По этим векторам из уравнений

A(r, r)xk(r, 1) + B(r, (n − r))yk((n − r), 1) = 0,

k = 1, 2, . . . , n − r, однозначно определятся векторы

x1(r, 1), x2(r, 1), . . . , xn−r(r, 1).

Образуем теперь векторы zk(n, 1), приписывая к компонентам векторов xk(r, 1) компоненты векторов yk((n − r), 1):

zk(n, 1) = (xk(r, 1), yk((n − r), 1)), k = 1, 2, . . . , n − r.

По построению Azk = 0 для k = 1, . . . , n − r, кроме того, очевидно, векторы zk, k = 1, . . . , n − r, линейно независимы, так как векторы системы (3.7) линейно независимы. Таким образом, векторы zk, k = 1, 2, . . . , n − r, образуют фундаментальную систему решений однородной системы уравнений (3.5).

Пример. Найдем фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

соответствующей системе (3.2)–(3.4). Ранг матрицы этой системы, как было показано при решении предыдущего примера, равен двум. Поэтому нужно построить два линейно независимых (непропорциональных) решения системы (3.8) – (3.10). Как уже было установлено, последнее уравнение системы — следствие первых двух. Полагая x3 = 1, x4 = 0 в уравнениях (3.8), (3.9), получим

откуда x1 = −3/2, x2 = −1/2. Полагая же x3 = 0, x4 = 1 в уравнениях (3.8), (3.9), будем иметь x1 = −1, x2 = −2. Поэтому векторы x1 = (−3/2, −1/2, 1, 0), x2 = (−1, −2, 0, 1) образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (3.8) – (3.10). Любой

вектор

где c1, c2 — произвольные числа, — решение системы (3.8) – (3.10), и наоборот, любое решение системы уравнений (3.8) – (3.10) представимо в виде (3.13) при некоторых c1, c2. Таким образом, общее решение системы (3.2)–(3.4) можно представить в виде

x = (6, 2, 0, 0) + c1(−3/2, −1/2, 1, 0) + c2(−1, −2, 0, 1),

где c1, c2 — произвольные вещественные числа.