A_G_2014

Рис. 4. Эллипсоид (a). Сечения эллипсоида плоскостями z = h при различных значениях h (b)

Изучим сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатным. Вследствие симметрии поверхности достаточно ограничиться, например, плоскостями, параллельными плоскости x, y. Нетрудно убедиться, что кривая, получающаяся при пересечении эллипсоида с плоскостью z = h, где |h| ≤ c, является эллипсом с полу-

При возрастании h от 0 до c полуоси a1, b1 убывают. При h = ±c эллипс вырождается в точку (см. рис. 4, b).

Полезно отметить, что сечение эллипсоида любой плоскостью дает эллипс. В самом деле, это сечение — кривая второго порядка. Она ограничена, так как эллипсоид ограничен, но единственной ограниченной кривой второго порядка (см. § 2 настоящей главы) является эллипс.

Обратимся к случаю 2). Пусть при этом d = 0. Запишем уравне-

Здесь a2 = 1/λ1, b2 = 1/λ2, c2 = −1/λ3. Поверхность, описываемая уравнением (2.13), называется эллиптическим конусом. Поверхность симметрична относительно всех трех координатных плоскостей и относительно начала координат. Ее сечение плоскостью z = h — эллипс с полуосями a1 = a|h|/c, b1 = b|h|/c (см. рис. 5).

Рис. 5. Эллиптический конус

При a = b получаем прямой круговой конус с вершиной в начале координат.

Заметим, что если точка (x, y, z) лежит на конусе, то и точка (tx, ty, tz) при любом t (−∞, ∞) лежит на конусе, т. е. вместе с любой точкой (x, y, z), лежащей на конусе, конусу принадлежит и вся прямая, проходящая через эту точку и начало координат (см. рис. 5).

Можно сказать, таким образом, что эллиптический конус получается при движении прямой (образующей), закрепленной в одной точке, по эллиптической направляющей.

Пусть теперь d < 0. Запишем уравнение (2.11) в виде

Здесь a2 = −d/λ1, b2 = −d/λ2, c2 = −d/|λ3|. Поверхность, описываемая уравнением (2.14), называется однополостным гиперболоидом (см. рис. 6, a). Поверхность симметрична относительно всех трех координатных плоскостей и относительно начала координат. Сечение поверхности плоскостями x = h, y = h дает гиперболы.

Сечение поверхности плоскостью z = h является эллипс с полу-

√ √

a1 = a 1 + c2 , b1 = b 1 + c2 .

При h = 0 получаем так называемый горловой эллипс (см. рис. 6, b). Рассмотрим, наконец, случай d > 0. Уравнение (2.11) представим

Рис. 6. Однополостный гиперболоид (a). Сечения однополостного гиперболоида плоскостями z = h при различных значениях h (b)

где a2 = d/λ1, b2 = d/λ2, c2 = d/|λ3|. Уравнение (2.15) описывает

двуполостный гиперболоид (см. рис. 7, a).

Поверхность симметрична относительно всех трех координатных плоскостей и относительно начала координат. Заметим, что при |z| < c не существует вещественных x, y, удовлетворяющих уравнению (2.15). При |z| = c уравнению (2.15) удовлетворяют лишь x = 0, y = 0, т. е. вся поверхность лежит вне плоского слоя |z| < c. Сечениями поверхности плоскостями z = ±h при h > c являются эллипсы

√ √

a1 = a c2 − 1, b1 = b c2 − 1.

Сечение поверхности плоскостями x = h, y = h дает гиперболы.

6. Однополостный гиперболоид представляет собой линейчатую поверхность, т. е. через каждую точку, лежащую на однополостном гиперболоиде, можно провести две различные прямые, целиком принадлежащие этому же однополостному гиперболоиду (см. рис. 8, a). Аналогичным свойством обладает гиперболический параболоид (см. рис. 8, b).

Проведем доказательство этого утверждения применительно к случаю однополостного гиперболоида. Определим прямую l как результат пересечения двух плоскостей, задаваемых уравнениями

Рис. 7. Двуполостный гиперболоид (a). Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями z = h при различных значениях h (b)

где a, b, c — параметры однополостного гиперболоида Γ, описываемого уравнением (2.14). Пусть точка (x0, y0, z0) лежит на Γ. Подберем α, β так, чтобы точка (x0, y0, z0) принадлежала прямой l. Для этого нужно, чтобы числа α, β удовлетворяли системе линейных уравнений

Понятно, что если (x0, y0, z0) Γ, то определитель системы уравнений (2.17) равен нулю, значит, существует нетривиальное решение α0, β0 этой системы. Нетрудно убедиться также, что при любых α, β, не равных нулю одновременно, плоскости, описываемые уравнениями (2.16), не параллельны. Поэтому прямая l по найденным значениям α0, β0 определятся однозначно. Пусть теперь (x, y, z) — произвольная точка прямой l. Очевидно, ее координаты должны удовлетворять системе уравнений

и, поскольку среди чисел α0, β0 хотя бы одно не нуль, то определитель системы (2.18) равен нулю, следовательно (x, y, z) Γ.

Аналогичные рассуждения показывают, что через точку (x0, y0, z0) можно провести прямую l′, определяемую как пересечение плоско-

Рис. 8. Однополостный гиперболоид (a) и гиперболический параболоид (b) как линейчатые поверхности

и целиком лежащую на Γ. Используя результаты п. 6, с. 69, нетрудно убедиться, что прямые l и l′ не параллельны.

Упражнение. Показать, что через каждую точку гиперболического параболоида, описываемого уравнением (2.8), можно провести две различные прямые, целиком лежащие на этом параболоиде и задаваемые как пересечение плоскостей

αz = β (xa + yb ), β = (xa − yb ) и νz = λ (xa − yb ), λ = ν (xa + yb ).

Линейчатость поверхностей широко используется в инженерной практике, так как позволяет создавать соответствующие конструкции в виде простых стержневых систем. Такова, например, знаменитая телевизионная шуховская башня в Москве1).

7. Приведем в заключение сводку уравнений и названий поверхностей второго порядка:

1)Владимир Григорьевич Шухов (1853 — 1939) — русский, советский инженер. Ему принадлежит идея использования однополостных гиперболоидов в строительстве.

8. Примеры.

1) Привести к простейшему виду уравнение

и построить поверхность, описываемую этим уравнением в декартовой системе координат x1x2x3.

Решение. В обозначениях п. 1, § 1, имеем

Будем опираться на описанный в § 5, с. 267, способ построения приведенной формы квадратичной функции. Характеристическое уравнение матрицы A, как нетрудно убе-

диться, имеет вид

P3(λ) ≡ λ3 − 16λ2 + 69λ − 54 = 0.

Очевидно λ1 = 1 — корень этого уравнения. Далее, поделив полином P3(λ) на λ − 1, получим P3(λ) = (λ − 1)(λ2 − 15λ + 54). Корнями уравнения λ2 − 15λ + 54 = 0 являются

числа λ2 = 6, λ3 = 9.

Таким образом все собственные числа матрицы A отличны от нуля и они попарно различны. Соответствующие им собственные векторы матрицы A по теореме 8, с. 227, образуют ортогональную систему в евклидовом пространстве R3 со стандартным скалярным произведением.

Вычислим собственные векторы матрицы A. Собственный вектор, соответствующий собственному числу λ1 = 1, есть решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (A − I)x = 0. Записывая эту систему подробнее, получим

3x1 + x2 + 3x3 = 0,

x1 + 7x2 + x3 = 0, 3x1 + x2 + 3x3 = 0.

Определитель матрицы этой системы по построению равен нулю. Главный минор вто-

Рис. 9. К примеру 1) исследования уравнения поверхности второго порядка

рого порядка матрицы этой системы отличен от нуля, поэтому последнее уравнение системы — следствие первых двух уравнений, и искомый собственный вектор можно вычислить, полагая x3 = 1 и определяя затем x1, x2 из первых двух уравнений системы. В результате получим, что собственному числу λ1 = 1 соответствует собственный

Используя теперь формулу (4.6), с. 266, найдем

√√ √

aˆ = T T a = ( 2, − 3, 6),

x0 = T xˆ0 = (19/18, −7/18, −17/18).

√ √

отнесенного к декартовой системе координат y1y2y3, которая получается из исходной системы координат x1x2x3 переносом начала в точку x0 и поворотом таким, что оси yk оказываются направленными вдоль векторов xk, k = 1, 2, 3, соответственно (см. рис. 9).

Рис. 10. К примеру 2) исследования уравнения поверхности второго порядка

и построить поверхность, описываемую этим уравнением в декартовой системе координат x1x2x3.

Собственные числа матрицы A, как нетрудно убедиться, есть λ1 = 2, λ2 = λ3 = 0. Ранг матрицы

равен двум. Все ненулевые решения системы уравнений (A−2I)x = 0, очевидно, пропорциональны вектору e1 = (1, 1, 0). Ранг матрицы A равен единице. Поэтому размерность

фундаментальной системы решений однородного уравнения Ax = 0 равна двум. Полагая сначала x2 = 1, x3 = 0, а затем x2 = 0, x3 = 1, получим, что векторы e2 = (−1, 1, 0), e2 = (0, 0, 1) образуют базис собственного подпространства матрицы A, отвечающего

§ 3. Гиперповерхности второго порядка в пространстве Rn и их классификация

1. Гиперповерхностью второго порядка в пространстве Rn называется множество всех точек пространства Rn, удовлетворяющих уравнению

Здесь A — заданная симметричная матрица порядка n, a — заданный вектор из Rn, a0 — фиксированное число, под скалярным произведе-

нием понимается стандартное скалярным произведение в пространстве Rn.

Выполним в уравнении (3.1) замену переменных, полагая

В дальнейшем на протяжении данного параграфа будем предполагать, что T — ортогональная матрица.

Замена переменных (3.2) может быть интерпретирована как замена естественного базиса пространства Rn на ортонормированный базис, образованный столбцами матрицы T , и перенос начала отсчета в точку x0.

Как показано в § 5 гл. 14, матрица T и вектор x0 могут быть выбраны так, что уравнение (3.1) примет одну и только одну из следующих приведенных форм:

Здесь, как и раньше, λ1, λ2, . . . , λr — все ненулевые собственные числа матрицы A, br+1 > 0. Условимся в дальнейшем считать, что числа λ1, λ2, . . . , λk положительны, λk+1, λk+2, . . . , λr отрицательны.

2. Приведенные формы гиперповерхностей позволяют выполнить их классификацию. Мы будем при этом использовать результаты п. 3, § 4, гл. 14, об ортогональных инвариантах квадратичных функций. Как и в главе 14, через B будем обозначать квадратную матрицу порядка n + 1, определенную равенством (4.2), с. 265.

2.1. Пусть r = n (это, условие эквивалентно, тому, что det(A) ≠ 0). Форма (3.4) в этом случае, очевидно, невозможна. Таким образом, в рассматриваемом случае возможны лишь следующие ситуации: