A_G_2014

сюда получаем, что αy1+βy2 = αAx1+βAx2. Оператор A линеен, следовательно, αy1 + βy2 = A(αx1 + βx2), потому αy1 + βy2 Im(A).

Упражнение. Покажите, что Ker(A) — линейное подпространство пространства X.

3.Размерность подпространства Im(A) Ym называется рангом оператора A и обозначается через rank(A).

Размерность ядра оператора A называется дефектом оператора A и обозначается через def(A).

4.Теорема. Для любого линейного оператора A : Xn → Ym

Доказательство. Обозначим через M подпространство пространства Xn такое, что Xn = Ker(A) u M (см. упражнение 7.3, с. 146). По теореме 1, с. 147, имеем n = def(A) + dim(M). Теперь с учетом теоремы 4, с. 160, достаточно установить, что пространства M и Im(A) изоморфны. Для произвольного x Xn имеем x = x0 + x1, где x0 Ker(A), x1 M, следовательно, Ax = Ax1. Таким образом, всякий элемент из Im(A) — образ некоторого элемента из M. Осталось доказать, что если Ax′ = Ax′′ для x′, x′′ M, то x′ = x′′, т. е. оператор A осуществляет взаимнооднозначное отображение M на Im(A). Равенство A(x′ − x′′) = 0 означает, что x′ − x′′ Ker(A). С другой стороны, M — подпространство, поэтому x′ − x′′ M. По теореме 7.2, с. 146, отсюда получаем, что x′ − x′′ = 0.

§6. Матрица оператора

1.Пусть A : Xn → Ym — линейный оператор. Фиксируем в

пространстве Xn базис En = {ek}nk=1, а в пространстве Ym — ба-

зис Qm = {qk}mk=1.

Представим каждый вектор Aei, i = 1, 2, . . . , n, в виде разложения по базису Qm:

Введем в рассмотрение матрицу

Таким образом, если в пространствах Xn, Ym фиксированы некоторые базисы En, Qm, то всякому линейному оператору A, действующему из Xn в Ym, однозначно соответствует линейный оператор, действующий из Cn в Cm (оператор умножения на матрицу Aeq оператора A в этих базисах), и, наоборот, всякой матрице A размера m ×n однозначно соответствует оператор A, действующий из Xn в Ym и определяемый по формуле A = QAE−1.

где Ae — матрица оператора A в базисе En.

5.Отметим два очевидных случая, когда матрица оператора не зависит от выбора базиса: 1) нулевой оператор, его матрица при лю-

бом выборе базисов в пространствах Xn, Ym нулевая; 2) тождественный оператор, его матрица — единичная матрица в любом базисе

пространства Xn.

В дальнейшем (см. теорему 11, с. 166) будет доказано, фактиче-

ски, обратное утверждение: если матрица оператора A : Xn → Xn не зависит от выбора базиса, то существует такое число α, что A = αI,

т.е. оператор A — это оператор умножения на число (скалярный оператор).

6.Из определения матрицы оператора сразу же вытекает, что для любых операторов A, B : Xn → Ym и для любых α, β C

т. е. линейным операциям над операторами соответствуют линейные операции над их матрицами.

7. Аналогичное при определенных условиях справедливо и для произведения операторов. Пусть A : Xn → Ym, B : Ym → Zp, A, B — линейные операторы. Будем считать, что в пространствах Xn, Ym, Zp

заданы базисы {ek}nk=1, {qk}mk=1, {rk}pk=1, соответсвенно; Aeq — матрица оператора A, Bqr — матрица оператора B, (BA)er — матрица

оператора BA : Xn → Zp. Покажем, что

т. е. матрица произведения операторов равна произведению матриц операторов. Действительно, применяя формулы (6.5), получим

(BA)er = R−1BAE = R−1RBqrQ−1QAeqE−1E = BqrAeq.

Важно подчеркнуть, что здесь при определении матриц операторов A и B использовался один и тот же базис {qk}mk=1 Ym. Указанное согласование базисов обычно предполагается выполненным.

Примеры.

1) Определим оператор A : C4 → C4 при помощи соотношения

Ax = (x2, x1, x3 + x4, x4)

шения T q2(z) = q2(z + h) для любого элемента q2 Q2. Здесь h — фиксированное ком-

8. Упражнения.

1)Определим в пространстве Cn так называемый оператор T

циклического сдвига, полагая T x = (x1, x2 . . . , xn−1, x0) для каждого x = (x0, x1, . . . , xn−1) Cn. Построить матрицу этого оператора в базисе Фурье (см. с. 140).

2)Пусть Tn — линейное пространство функций вида

∑n

fn(x) = a0 + (ak cos kx + bk sin kx),

k=1

где n > 1 — фиксированное целое число, a0, ak, bk, k = 1, . . . , n — произвольные вещественные числа, x может принимать любые вещественные значения. Операции сложения функций и умножения функции на число определены обычным образом. Показать, что функции

1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx

образуют базис этого пространства. Построить матрицу оператора дифференцирования Dfn(x) = fn′ (x) в этом базисе.

3) Пусть Pn — линейное пространство полиномов степени не выше n с вещественными коэффициентами. Определим на этом пространстве линейный оператор A, полагая Apn(x) = ap′n(x) + bpn для любого pn Pn. Здесь a, b — произвольным образом фиксирован-

ные вещественные числа. Построить матрицу оператора A в базисе {1, x, x2, . . . , xn}.

4)Построить матрицу оператора A, описанного в предыдущем примере, полагая при этом b = 0, трактуя возникающий оператор

как оператор из Pn в Pn−1 и принимая за базис пространства Pk базис Тейлора1) {1, (x−c), . . . , (x−c)k}, c — произвольное вещественное число.

5)Определим оператор K, действующий из Pn в Pn+1 по формуле

∫x

Kpn(x) = pn(t)dt.

0

Построить матрицу оператора K, принимая {1, x, . . . , xk} за базис в пространстве Pk.

6) Определим так называемый разностный оператор ∆h, действующий из Qn в Qn−1 по формуле

∆hqn(z) = qn(z + h) − qn(z),

Qk — пространство полиномов степени не выше k с комплексными коэффициентами, h — произвольным образом фиксированное комплексное число. Построить матрицу оператора ∆h, принимая {1, z, . . . , zk} за базис в пространстве Qk.

9. Матрица оператора A : Xn → Ym определяется заданием базисов пространств Xn, Ym. Выясним, как она изменяется при изменении базисов. Пусть наряду с базисами {ek}nk=1, {qk}mk=1 заданы базисы {e˜k}nk=1, {q˜k}mk=1 и Ae˜q˜ — матрица оператора A в этих базисах.

1)Брук Тэйлор (Brook Taylor; 1685 — 1731) — английский математик.

Будем считать известными матрицы T , R перехода к новым базисам, так что (см. § 7, с. 124)

Согласно (6.5), с. 162, имеем A = QAeqE−1, Ae˜q˜ = Q−1AE, следова-

10. В важном частном случае, когда оператор A отображает пространство Xn в себя, получаем

Квадратные матрицы B, C, связанные соотношением

где D — невырожденная матрица, называют подобными. Говорят еще, что матрица B получена из матрицы C при помощи преобразования подобия.

Соотношение (6.13) показывает, что матрицы одного и того же оператора A : Xn → Xn в разных базисах подобны.

11. Теорема. Если матрица оператора A : Xn → Xn не зависит от выбора базиса в пространстве Xn, то существует такое число α, что A = αI.

Доказательство. Обозначим через A матрицу оператора A в некотором базисе. Поскольку матрицы одного и того же оператора в различных базисах подобны, то A = BAB−1 и, следовательно, AB = BA для любой невырожденной матрицы B. Пусть Eik — матрица, у которой элемент в позиции (i, k) равен единице, а все остальные элементы — нули. Матрица Eik +I — треугольная матрица с ненулевыми элементами на главной диагонали и потому обратима.

Значит, A(Eik + I) = (Eik + I)A, следовательно, AEik = EikA. Будем считать, что i ≠ k. В левой части последнего равенства, как нетрудно

видеть, — матрица, у которой только k-й столбец отличен от нуля и

он состоит из элементов a1i, a2i, . . . , ani. В матрице, записанной в правой части этого же равенства, только i-я строка отлична от ну-

ля и она состоит из элементов ak1, ak2, . . . , akn. Поэтому указанное

равенство может быть выполнено лишь в случае, когда aii = akk, а все участвующие здесь элементы с различающимися индексами равны нулю. Вследствие произвольности номеров i, k это означает, что матрица A диагональна и все ее диагональные элементы совпадают между собой, т. е. A = αI, но тогда, очевидно, и A = αI.

§7. Матрица обратного оператора

1.Поскольку det(D−1) = 1/ det(D) для любой невырожденной матрицы D, то определители подобных матриц совпадают. В связи с

этим можно назвать определителем оператора A : Xn → Xn определитель матрицы этого оператора. Такая характеристика оператора

не зависит от выбора базиса в пространстве Xn, т. е. является инвариантом оператора. Определитель оператора A будем обозначать через det(A).

2.Будем называть оператор A : Xn → Xn невырожденным, если det(A) ≠ 0. Для любого невырожденного оператора A существу-

ет обратный. Действительно, фиксируем некоторый базис {ek}nk=1 и определим оператор B соотношением

B = EA−e 1E−1.

Поскольку A = EAeE−1, то BA = AB = EIE−1 = I, значит, оператор B — обратный оператор к оператору A.

3.Как, фактически, следует из предыдущих рассуждений, в лю-

бом базисе пространства Xn матрица обратного оператора обратна к матрице исходного оператора.

4.Теорема. Если оператор A : Xn → Xn имеет обратный, то он невырожден.

5.Теорема. Для того, чтобы оператор A : Xn → Xn имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы уравнение Ax = 0 имело только тривиальное решение x = 0.

Упражнение. Докажите теоремы 4, 5.

§ 8. Линейное пространство операторов

Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из Xn в Ym. Как показано в п. 3, с. 156, на этом множестве можно ввести операции сложения линейных операторов и умножения оператора на число. Нетрудно убедиться, что эти операции удовлетворяют

симы, а каждая из последующих линейно выражается через первые rs строк матрицы A(m, n). Пусть A(rs, n) — матрица, состоящая из первых rs строк матрицы A(m, n). Используем для преобразования матрицы A(rs, n) алгоритм, совпадающий, фактически, с прямым ходом метода Гаусса (см. с. 99). Выберем в первой строке матрицы A(rs, n) ненулевой элемент. Это возможно, так как ни одна строка матрицы A(rs, n) не может быть нулевой. Переставим столбцы матрицы A(rs, n) так, чтобы столбец, содержащий указанный ненулевой элемент оказался первым. Сохраним за преобразованной таким образом матрицей прежнее обозначение. Умножим первую строку на −a21/a11 и сложим со второй. Затем аналогичные преобразования проделаем со всеми последующими строками матрицы A(rs, n). В результате получим матрицу, у которой все элементы первого столбца, кроме элемента a11, равны нулю, причем a11 ≠ 0. Вторая строка преобразованной матрицы есть нетривиальная линейная комбинация первых двух строк, поэтому она отлична от нуля. Поменяв местами при необходимости второй столбец преобразованной матрицы с одним из последующих, мы получим матрицу, у которой элемент a22 не нуль. Умножим вторую строку на −a32/a22 и сложим с третьей. Аналогичные преобразования проделаем и с последующими строками матрицы A(rs, n). Продолжая такие преобразования, мы, в результате, придем к матрице, которую можно представить в блочном виде

˜

где A(rs, rs) — верхняя треугольная матрица с ненулевыми элементами на главной диагонали. Описанные выше преобразования не могут сорваться , так как в ходе указанных вычислений каждый раз возникает строка, которая является нетривиальной линейной комбинацией предыдущих строк матрицы A(rs, n), и потому не может оказаться нулевой. Очевидно, что, не ограничивая общности рассуждений, можно считать что первые rs столбцов исходной матрицы A(rs, n) таковы, что выполняя описанные выше преобразования и не прибегая к перестановке столбцов, мы придем к матрице вида (9.1).

˜

Ясно, что det(A(rs, rs)) ≠ 0, поэтому первые rs столбцов исходной матрицы A(rs, n) линейно независимы. Но тогда, и первые rs столбцов матрицы A(m, n) линейно независимы. Покажем, что добавление к ним любого столбца матрицы A(m, n) приводит к линейно зависимой системе. Пусть ∆rs — главный минор1) порядка rs матрицы A(m, n).

1)Напомним, что главным минором порядка r называется минор, образованный элементами матрицы, стоящими на пересечении ее первых r строк и первых r столбцов (см. задачу 1 на с. 105).

Из предыдущих рассуждений следует, что ∆rs ≠ 0, поэтому система линейных уравнений

∑rs

j=1

имеет решение при любом k = 1, 2, . . . , n. Поскольку каждая строка матрицы A(m, n) с номером, большим rs, линейно выражается через

первые rs строк матрицы A(m, n), то вектор (x1, x2, . . . , xrs ), являющийся решением системы (9.2), удовлетворяет и соотношениям

∑rs

aijxj = aik, i = rs + 1, . . . , m.

j=1

Таким образом, каждый столбец матрицы A(m, n) есть линейная комбинация ее первых rs столбцов, следовательно, rank(A(m, n)) = rs.

6.Квадратная матрица порядка n невырождена тогда и только тогда, когда ее ранг равен n.

7.Любая перестановка строк или столбцов матрицы, очевидно, не меняет ее ранга. Более того, имеет место

8.Теорема. Пусть A(m, n) — произвольная матрица, а B(m, m)

иC(n, n) — квадратные невырожденные матрицы. Тогда

Доказательство. Для проверки справедливости равенства (9.3) достаточно заметить, что если матрица B невырождена, то для линейной независимости системы столбцов Ba1, . . . , Bap необходимо и достаточно линейной независимости столбцов a1, . . . , ap (проверьте!). Справедливость (9.4) устанавливается затем переходом к транспонированным матрицам.

Упражнение. Показать, что для любых допускающих умножение прямоугольных матриц A, B справедливо неравенство

rank(AB) 6 min{rank(A), rank(B)}.