A_G_2014
.pdfЕ.М. Карчевский, М.М. Карчевский
Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии
Учебное пособие
Казанский университет
2014
Публикуется по решению заседания учебно-методической комиссии института ВМиИТ
Казанского федерального университета Протокол № 1 от 20 сентября 2012 г.
заседания кафедры прикладной математики Протокол № 1 от 29 августа 2012 г.
Научный редактор —
доктор физико-математических наук, профессор Н.Б. Плещинский
Излагаются все основные вопросы, включаемые в программу университетского курса линейной алгебры и аналитической геометрии.
Книга рассчитана на студентов младших курсов, обучающихся по специальности прикладная математики и информатика.
c Карчевский Е.М. Карчевский М.М., 2013
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
|
Глава 1. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
|
§ 1. |
Комплексные числа, алгебраические операции над комплексными |
|
|
числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
§ 2. |
Операция сопряжения, модуль комплексного числа . . . . . . . . . |
11 |
§ 3. |
Геометрическая интерпретация. Тригонометрическая форма ком- |
|
|
плексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
§ 4. |
Извлечение корня из комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
Глава 2. Многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
|
§ 1. |
Алгебраические операции над многочленами . . . . . . . . . . . . |
18 |
§ 2. |
Корни многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
§ 3. |
Многочлены с действительными коэффициентами . . . . . . . . . |
26 |
Глава 3. Определители второго и третьего порядков . . . . . . . . . |
28 |
|
§ 1. |
Определители второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
§ 2. |
Определители третьего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
§ 3. |
Свойства определителей третьего порядка . . . . . . . . . . . . . . |
34 |
Глава 4. Введение в аналитическую геометрию . . . . . . . . . . . . |
43 |
|
§ 1. |
Векторы. Алгебраические операции над векторами . . . . . . . . . |
43 |
§ 2. |
Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
48 |
§ 3. |
Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
§ 4. |
Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
§ 5. |
Примеры задач, решаемых методами векторной алгебры . . . . . |
56 |
§ 6. |
Различные формы уравнения прямой на плоскости . . . . . . . . . |
59 |
§ 7. |
Задачи о взаимном расположением прямых и точек на плоскости |
61 |
§ 8. |
Различные формы уравнения плоскости . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
§ 9. |
Уравнения прямой в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
66 |
§ 10. |
Задачи о взаимном расположении точек, прямых, плоскостей в про- |
|
|
странстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
Глава 5. Системы линейных уравнений, матрицы, определители . |
72 |
|
§ 1. |
Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
§ 2. |
Определители произвольного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . |
75 |
§ 3. |
Основные свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
76 |
§ 4. |
Примеры вычисления определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . |
80 |
§ 5. |
Крамеровские системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . |
82 |
§ 6. |
Матрицы. Операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
§ 7. |
Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
95 |
§ 8. |
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений |
99 |
§ 9. |
Определитель произведения матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . |
106 |
§ 10. |
Некоторые классы матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
107 |
§ 11. |
Блочные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
109 |
4 |
|
Оглавление |
|
Глава 6. Линейные пространства . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . 112 |
||
§ 1. |
Пространства Rn и Cn . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
112 |
§ 2. |
Общие линейные пространства . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
114 |
§ 3. |
Линейная зависимость векторов . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
117 |
§ 4. |
Линейно независимые системы векторов . . . . . |
. . . . . . . . . . |
119 |
§ 5. |
Ранг системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
121 |
§ 6. |
Конечномерные линейные пространства. Базисы |
. . . . . . . . . . |
122 |
§ 7. |
Замена базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
124 |
Глава 7. Евклидовы пространства . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . 127 |
||
§ 1. |
Евклидовы пространства Rn и Cn . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
127 |
§ 2. |
Общие евклидовы пространства . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
129 |
§ 3. |
Неравенство Коши — Буняковского . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
131 |
§ 4. |
Матрица Грама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . |
132 |
§5. Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§6. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта . . . . . . . . . . . . . 135
§ 7. |
Разложение вектора по базису евклидова пространства . . . . . . |
138 |
§ 8. |
Вычисление скалярного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . |
138 |
§ 9. |
Взаимный базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
139 |
§ 10. |
Примеры ортогональных базисов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
139 |
Глава 8. Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
144 |
|
§ 1. |
Сумма и пересечение подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . |
144 |
§ 2. |
Размерность суммы подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . |
147 |
§ 3. |
Ортогональная проекция вектора на подпространство . . . . . . . |
148 |
§ 4. |
Ортогональное разложение евклидова пространства . . . . . . . . |
153 |
Глава 9. Линейные операторы и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . |
155 |
|
§ 1. |
Линейные операторы. Действия над операторами . . . . . . . . . . |
155 |
§ 2. |
Обратный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
157 |
§ 3. |
Оператор разложения по базису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
158 |
§ 4. |
Изоморфизм конечномерных пространств . . . . . . . . . . . . . . |
159 |
§ 5. |
Образ оператора. Ядро оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
160 |
§ 6. |
Матрица оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
161 |
§ 7. |
Матрица обратного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
167 |
§ 8. |
Линейное пространство операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
167 |
§ 9. |
Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
168 |
§ 10. |
Элементарный метод вычисления ранга матрицы . . . . . . . . . . |
171 |
Глава 10. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
§1. Общее решение линейного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
§2. Системы линейных алгебраических уравнений. Условия разреши-
мости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
§3. Построение общего решения системы линейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Глава 11. Строение линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . |
181 |
|
§ 1. |
Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
181 |
§ 2. |
Собственные числа и собственные векторы . . . . . . . . . . . . . |
183 |
§ 3. |
Характеристический полином и характеристические числа . . . . |
185 |
§4. Признак линейной независимости собственных векторов . . . . . . 186
§5. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных чисел . 189
Оглавление |
5 |
|
§ 6. |
Операторы простой структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
189 |
§ 7. |
Инварианты оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
191 |
§ 8. |
Инвариантные функции операторного аргумента . . . . . . . . . . |
194 |
§ 9. |
Инвариантные подпространства оператора в вещественном про- |
|
|
странстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
197 |
§ 10. |
Приведение матрицы оператора к треугольной форме . . . . . . . |
198 |
§11. Нильпотентный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
§12. Приведение матрицы оператора к жордановой форме . . . . . . . 202
§13. Структура базиса Жордана. Корневые и циклические подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
§14. Теорема Кэли — Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§15. Сходящиеся матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Глава 12. Операторы в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . |
216 |
|
§ 1. |
Линейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
216 |
§ 2. |
Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
217 |
§ 3. |
Вычисление матрицы оператора в евклидовом пространстве . . . |
218 |
§ 4. |
Линейные уравнения в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . |
219 |
§ 5. |
Псевдорешение линейного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . |
220 |
§ 6. |
Самосопряженный и косоэрмитов операторы . . . . . . . . . . . . |
221 |
§ 7. |
Неотрицательный и положительно определенный операторы . . . |
223 |
§ 8. |
Унитарный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
224 |
§ 9. |
Нормальный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
225 |
§10. Вариационные свойства собственных чисел самосопряженного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
§ 11. |
Примеры применения вариационного описания собственных чисел |
232 |
§ 12. |
Корень из самосопряженного неотрицательного оператора . . . . |
237 |
§ 13. |
Обобщенная проблема собственных значений . . . . . . . . . . . . |
238 |
§ 14. |
Сингулярные базисы и сингулярные числа оператора . . . . . . . |
239 |
§ 15. |
Полярное разложение оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
243 |
§ 16. |
Евклидово пространство операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . |
244 |
Глава 13. Операторы в вещественном евклидовом пространстве |
. 248 |
|
§ 1. |
Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
248 |
§ 2. |
Вещественное евклидово пространство операторов . . . . . . . . . |
249 |
§ 3. |
Структура нормального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
251 |
§ 4. |
Структура ортогонального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . |
253 |
§ 5. |
Матрицы вращения и отражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
255 |
Глава 14. Квадратичные формы и квадратичные функции . . . . . 258
§1. Канонический вид квадратичной формы . . . . . . . . . . . . . . . 258
§2. Закон инерции квадратичных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
§ 3. Положительно определенные квадратичные формы . . . . . . . . 264
§4. Квадратичная функция и ее инварианты . . . . . . . . . . . . . . . 265
§5. Приведенная форма квадратичной функции . . . . . . . . . . . . . 267
Глава 15. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
273 |
|
§ 1. |
Приведение к простейшему виду уравнения кривой второго по- |
|
|
рядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
273 |
§ 2. |
Геометрические свойства кривых второго порядка . . . . . . . . . |
277 |
6 |
Оглавление |
Глава 16. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 § 1. Приведение к простейшему виду уравнения поверхности второго
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 § 2. Геометрические свойства поверхностей второго порядка . . . . . . 287
§3. Гиперповерхности второго порядка в пространстве Rn и их классификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Глава 17. Итерационные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
§ 1. |
Итерационные методы решения систем линейных уравнений . . . |
303 |
§ 2. |
Элементы общей теории итерационных методов . . . . . . . . . . . |
307 |
§ 3. |
Метод Якоби решения задач на собственные значения . . . . . . . |
313 |
§ 4. |
Исследование сходимости метода Якоби . . . . . . . . . . . . . . . |
315 |
Глава 18. Нормы векторов и матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
317 |
|
§ 1. |
Основные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
317 |
§ 2. |
Нормы на пространстве Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
319 |
§ 3. |
Нормы на пространстве матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
323 |
§ 4. |
Элементы теории возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
331 |
Глава 19. Неотрицательные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 § 1. Простейшие свойства неотрицательных матриц . . . . . . . . . . . 336
§2. Положительные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
§3. Неотрицательные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
§4. Неразложимые неотрицательные матрицы . . . . . . . . . . . . . . 341
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Предисловие
Книга написана на основе лекций по алгебре и геометрии, которые читаются для студентов первого курса института вычислительной математики и информационных технологий КФУ, специализирующихся в области прикладной математики и информатики. Многие вопросы, затронутые в книге, активно обсуждались с сотрудниками кафедр прикладной и вычислительной математики КФУ. Авторы приносят им свою искреннюю признательность. Рукопись книги была прочитана Ю.А. Альпиным, Н.Б. Плещинским, Е.Л. Столовым, М.Р. Тимербаевым, Р.Р. Шагидуллиным. Авторы с благодарностью учли их замечания.
Мы благодарны всем читателям, приславшим свои отклики на первоначальный вариант книги. Особую признательность выражаем В.Б. Андрееву, А.В. Гулину, А.С. Ильинскому, Ю.Г. Смирнову, Е.Л. Столову, Е.В. Чижонкову, С.И. Соловьеву, М.Р. Тимербаеву, указавшим на ряд неточностей и недостатков, которые мы постарались устранить.
Глава 1
Комплексные числа
§ 1. Комплексные числа, алгебраические операции над комплексными числами
1. Из школьного курса математики известно, что не всякое квадратное уравнение имеет решение. Самый простой пример — уравнение
x2 + 1 = 0. |
(1.1) |
Очевидно, никакое вещественное x не может быть корнем этого уравнения. Ситуация меняется, если ввести в рассмотрение новое число, так называемую мнимую единицу. Будем обозначать ее через i и по-
лагать, что
i2 = −1.
Тогда уравнение (1.1) будет иметь корень α1 = i. Естественно положить, что (−i)2 = (−1)2i2 = −1. Тогда и число α2 = −i является корнем уравнения (1.1), т. е. уравнение (1.1), как и аналогичное урав-
нение
x2 − 1 = 0,
имеет два различных корня. Рассматривая уравнение
x2 + q = 0,
где q > 0, естественно принять, что оно имеет два корня
α1 = i√q и α2 = −i√q.
Числа вида ib, где b — вещественное число, называют мнимыми. Рассмотрим теперь общее квадратное уравнение, записывая его
для удобства в приведенном виде:
x2 − 2px + q = 0. |
(1.2) |
Элементарные преобразования дают
(x − p)2 + q − p2 = 0.
Будем считать, что q − p2 > 0, т. е. дискриминант уравнения (1.2) отрицателен.
§ 1. Комплексные числа, алгебраические операции над комплексными числами 9
Теперь естественно положить, что корнями уравнения (1.2) являются числа
α1 = p + i√ |
|
, α2 = p − i√ |
|
. |
(1.3) |
q − p2 |
q − p2 |
Это числа новой природы. Они имеют вид a + ib, где a и b — вещественные числа. Их называют комплексными числами. В частном случае, когда b = 0, считают, что комплексное число a + ib совпадает с вещественным числом a, а при a = 0 — c мнимым числом ib.
Как правило, комплексное число будем обозначать буквой z:
z = x + iy.
Говорят, что x — вещественная часть комплексного числаz, а y — его мнимая часть.z Обозначим x через Re z, а y — через Im z. Таким образом, можно написать, что
z = Re z + i Im z.
По определению два комплексных числа равны, если совпадают соответственно их вещественные и мнимые части.
2. Естественно теперь попытаться проверить, что числа α1, α2, определенные в (1.3), — корни уравнения (1.2), т. е. при подстановке их в равенство (1.2) последнее обращается в тождество. Для этого надо уметь выполнять алгебраические операции над комплексными числами. Дадим соответствующие определения.
Под суммой комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 понимается комплексное число z = x+ iy, где x = x1 + x2, y = y1 + y2:
Re (z1 + z2) = Re z1 + Re z2,
Im (z1 + z2) = Im z1 + Im z2.
Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется число
z = (x1 − x2) + i(y1 − y2).
Ясно, что если z — разность комплексных чисел z1 и z2, то z2 +z = z1.
Например, сумма комплексных чисел z1 = 1 + i2 и z2 = 3 + i4 равна числу
z= (1 + i2) + (3 + i4) = (1 + 3) + i(2 + 4) = 4 + i6,
аих разность — числу
z = (1 + i2) − (3 + i4) = (1 − 3) + i(2 − 4) = −2 − i2.
10 |
Глава 1. Комплексные числа |
Комплексное число вида 0 + i 0 называется нулевым. Будем обозначать его символом 0. Для любого комплексного числа z справедливы равенства
z + 0 = z, 0 + z = z.
Определяя произведение комплексных чисел, будем действовать, как при перемножении обычных двучленов, учитывая при этом, что i2 = −1. Получаем, таким образом,
z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + x2y1), |
|
т. е. по определению |
|
Re (z1z2) = Re z1Re z2 − Im z1Im z2, |
(1.4) |
Im (z1z2) = Re z1Im z2 + Re z2Im z1. |
(1.5) |
Вычислим, например, произведение чисел z1 = 1 + i2 и z2 = 3 + i4:
z1z2 = (1 + i2) · (3 + i4) = (1 · 3 − 2 · 4) + i(1 · 4 + 3 · 2) = −5 + i10.
Для любого комплексного числа z
z0 = 0z = 0.
Упражнение. Убедиться, что определенные выше операции сложения и умножения комплексных чисел обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над вещественными числами:
1)z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1 — коммутативность, или перестановочность,
2)(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3) — ассоциативность, или сочетательность,
3)(z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 — дистрибутивность, или распределительность.
Упражнение. Непосредственной подстановкой показать, что формулы (1.3) дают корни уравнения (1.2).
Комплексное число z назовем частным от деления комплексного числа z1 на z2, если
zz2 = z1. |
(1.6) |
Покажем, что если z2 ≠ 0, то z как решение уравнения (1.6) существует и определяется единственным образом. В самом деле, используя формулы (1.4), (1.5), запишем (1.6) более подробно:
xx2 − yy2 + i(xy2 + x2y) = x1 + iy1. |
(1.7) |