A_G_2014

5. Из предыдущих рассуждений также следуют равенства

rank(A) = rank(A A) = rank(AA ),

def(A A) = n − rank(A), def(AA ) = m − rank(A).

6.Понятно, что ранг r оператора A равен количеству ненулевых сингулярных чисел оператора A. Это наблюдение открывает реальную возможность вычисления ранга оператора A: нужно решить задачу на собственные значения для самосопряженного неотрицательного оператора A A и определить количество ненулевых собственных

чисел. Именно таким способом обычно пользуются в вычислительной

практике. Ясно также, что собственные векторы {ei}ni=r+1 оператора A A образуют ортонормированный базис ядра оператора A.

7.Если сингулярные числа и сингулярные базисы оператора A найдены, то построение псевдорешения (см. § 5, с. 220) уравнения

не вызывает затруднений. В самом деле, как было показано в п. 3, с. 221, любое решение уравнения

есть псевдорешение уравнения (14.8). Представляя векторы x и y в ви-

используя затем соотношения (14.2), (14.5), (14.6), получим как следствие уравнения (14.9), что

∑r

откуда вытекает, что ξk = ηk/ρk для k = 1, 2, . . . , r. Таким образом, любой вектор

где ξr+1, . . . , ξn — произвольные числа, есть псевдорешение уравнения (14.8).

242 Глава 12. Операторы в евклидовом пространстве

Если y Im(A), т. е. уравнение (14.8) разрешимо, то формула (14.11) дает общее решение (см. § 1, с. 174) уравнения (14.8). Дей-

Полагая ξr+1, . . . , ξn = 0, получим псевдорешение с минимальной длиной. Такое псевдорешение принято называть нормальным. Оно ортогонально ядру оператора A.

Упражнения.

1)Покажите, что модуль определителя любого оператора, действующего в конечномерном пространстве, равен произведению всех сингулярных чисел этого оператора.

2)Пусть A — произвольная прямоугольная матрица ранга r. Покажите, что существуют унитарные матрицы U, V такие, что

есть блочная 2 × 2 матрица, R = diag(ρ1, ρ2, . . . ρr), все элементы диагонали R положительны, все элементы матриц O1,2, O2,1, O2,2 — нули.

Формула (14.12) определяет так называемое сингулярное разложение прямоугольной матрицы.

9. Сингулярные числа оператора характеризуют чувствительность решения линейного уравнения по отношению к изменению его правой части. Пусть A — невырожденный оператор, действующий в евклидовом пространстве Xn. Рассмотрим наряду с уравнением

Оператор U унитарный, так как переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис. Операторы T , S — самосопряженные неотрицательные операторы. Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что числа (T x, x), (Sx, x) неотрицательны для

любого x Xn.

Далее, учитывая (14.1), (15.1), получим

USek = ρkqk = Aek, T Uek = ρkqk = Aek, k = 1, 2, . . . , n,

следовательно,

Формулы (15.2) определяют так называемое полярное разложение оператора A. Они показывают, что любое линейное преобразование есть результат последовательного выполнения унитарного преобразования, не меняющего длин векторов, и самосопряженного неотрицательного преобразования, выполняющего растяжения пространства в n попарно ортогональных направлениях.

Оператор S называют правым оператором растяжения, а оператор T — левым оператором растяжения.

2. Из (15.2) непосредственно получаем A A = S2, AA = T 2. Поскольку операторы S, T — самосопряженные неотрицательные операторы, то эти равенства показывают, что S, T однозначно определяются по оператору A, а именно

В случае, когда оператор A невырожден, оператор A A также невырожден, следовательно, невырожден и оператор S, поэтому оператор U = AS−1 также определяется однозначно.

Из формул (15.2), (15.3) непосредственно вытекает

3. Теорема. Для того, чтобы оператор A был нормальным, необходимо и достаточно операторы T и S в представлении (15.2) совпадали, иными словами, чтобы операторы U и S были перестановочны.

§16. Евклидово пространство операторов

1.Определим на пространстве линейных операторов, действую-

щих в конечномерном евклидовом пространстве Xn, скалярное произведение по формуле (A, B) = tr(AB ), Пусть Ae, Be — матрицы операторов A, B в произвольном ортонормированном базисе. Тогда,

e ¯e

как нетрудно подсчитать, (A, B) = aijbij. Из этой формулы оче-

видным образом вытекает справедливость аксиом скалярного произведения.

Упражнение. Покажите, что для любого оператора A, действующего в евклидовом пространстве Xn,

∑n

|A|2 = ρ2k,

k=1

где ρk, k = 1, 2, . . . , n, — сингулярные числа оператора A

2. Построим некоторые часто используемые в различных приложениях базисы евклидова пространства операторов. Каждой паре векторов a, b евклидова пространства Xn поставим в соответствие линейный оператор, обозначаемый через a b и определяемый равенством

Оператор a b называют тензорным произведением или диадой векторов a, b. Пусть En = {ek}nk=1 — базис пространства Xn. Образуем линейные операторы

Количество операторов вида (16.2) равно n2, т. е. совпадает с размерностью пространства всех линейных операторов, действующих в Xn

(см. § 8, с. 167). Совокупность операторов (16.2) линейно независима.

∑n

Действительно, пусть cklek el = 0. Тогда для любого вектора e˜j

Отсюда вследствие линейной независимости векторов En вытекает,

что ckl = 0 для всех k, l = 1, 2, . . . , n.

Таким образом, система (16.2) есть базис, и каждый оператор A, действующий в пространстве Xn, однозначно представим в виде

∑n

Аналогично доказывается, что каждый оператор A : Xn → Xn однозначно представим в одной из следующих форм при помощи векторов основного и взаимного базисов:

∑n

k,l=1

Коэффициенты разложения (16.4) называются контравариантными компонентами оператора A, коэффициенты разложения (16.5) называются ковариантными компонентами оператора A, а коэффициенты разложений (16.6), (16.7) — смешанными компонентами.

Упражнения.

1) Покажите, что для любых a, b Xn справедливо равенство

2) Опираясь на (16.8), докажите, что любых a, b Xn оператор

называемый внешним произведением векторов a, b, кососимметричен.

3) Опишите ядро оператора a b. Специально рассмотрите слу-

k= 1, 2, . . . , n, — ковариантные компоненты вектора b.

5)Докажите, что коэффициенты разложений (16.4)–(16.7) можно вычислить по следующим формулам:

αkl = (Ae˜l, e˜k), α˜kl = (Ael, ek), αˆkl = (Ael, e˜k), αˇkl = (Ae˜l, ek),

k, l = 1, 2, . . . , n.

Покажите также, что числа αˆkl, αˇkl, k, l = 1, 2, . . . , n, есть элементы матрицы оператора A в основном и взаимном базисах соответ-

ственно.

6) Пусть A : Xn → Xn — нормальный оператор, {ek}nk=1 — ортонормированный базис пространства Xn, составленный из собственных векторов оператора A, λ1, λ2, . . . , λn — соответствующие соб-

ственные числа оператора A. Покажите, что A = ∑n λiei ei.

i=1

Глава 13

Операторы в вещественном евклидовом пространстве

§ 1. Общие сведения

Отметим некоторые особенности, связанные с рассмотрением линенйных операторов, действующих в вещественном евклидовом пространстве Xn.

В любом ортонормированном базисе пространства Xn матрицы операторов A и A взаимно транспонированы.

Для того, чтобы оператор был самосопряжен, необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе пространства Xn его матрица была симметрична.

Косоэрмитов оператор, действующий в вещественном евклидовом пространстве, обычно называют кососимметричным. Для того, чтобы оператор был кососимметричным необходимо и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе пространства Xn его матрица была кососимметрична.

Любой оператор A однозначно представим в виде A = A1 + A2, где A1 — самосопряженный, A2 — кососимметричный операторы,

Аналогичные рассуждения для матриц см. на с. 107, 108.

1. Теорема1). Для того, чтобы оператор A был кососимметричным, необходимо и достаточно выполнения условия

Доказательство. Действительно, если A = −A , то

(Ax, x) = (x, A x) = −(x, Ax),

т. е. (Ax, x) = 0. Достаточность условия (1.1) вытекает из очевидного тождества (A(x + y), x + y) = (Ax, x) + (Ay, y) + (Ax + A x, y).

1)Сравните с теоремой 1.3 с. 222.

2.Унитарный оператор, т. е. оператор A, удовлетворяющий условию AA = I, действующий в вещественном евклидовом пространстве, называется ортогональным. Для того, чтобы оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица была ортогональной (см. п. 7 на с.108) в любом ортонормированном базисе

пространства Xn.

Из определения ортогонального оператора сразу же вытекает, что он не меняет длин векторов и углов между векторами. Определитель ортогонального оператора равен плюс или минус единице.

Собственным числом ортогонального оператора может быть только плюс или минус единица.

3.Напомним, что оператор A называется нормальным, если AA = A A. Самосопряженный, кососимметричный и ортогональный операторы — нормальные операторы. В любом ортонормирован-

ном базисе En пространства Xn матрица Ae нормального оператора A является нормальной, т. е. удовлетворяет условию

Справедливо и обратное: если в некотором ортонормированном базисе En пространства Xn матрица Ae оператора A удовлетворяет условию (1.2), то A — нормальный оператор.

§2. Вещественное евклидово пространство операторов

1.Вводя на вещественном линейном пространстве всех опера-

торов, действующих в вещественном евклидовом пространстве Xn, скалярное произведение по формуле (A, B) = tr(AB ), получим вещественное евклидово пространство операторов. Все факты, установленные в § 16, с. 244, очевидным образом переносятся и на этот случай.

Упражнения

1)Покажите, что множество всех самосопряженных операторов,

действующих в вещественном евклидовом пространстве Xn, есть подпространство евклидова пространства операторов, действующих в вещественном пространстве Xn, и определите его размерность.

2)Покажите, что множество всех кососимметричных операторов,

действующих в вещественном евклидовом пространстве Xn, есть подпространство евклидова пространства операторов, действующих в вещественном пространстве Xn, и определите его размерность.