A_G_2014

Нетрудно убедиться, что

Фиксируем теперь некоторое положительное число ε. Выбирая d достаточно большим, можно добиться того, что сумма модулей элементов каждого столбца матрицы Q будет не больше ρ(A) + ε. Вследствие (3.8), (3.9) получаем SAS−1 = Q, где S = DU−1, причемSAS−1 1 = Q 1 6 ρ(A) + ε. Поскольку выполнения последнего неравенства можно добиться за счет выбора d для произвольного положительного ε, то вместе с (3.7) это обеспечивает справедливость первого равенства в (3.6).

Упражнения.

1) Как следствие теоремы 7 докажите, что для любой матрицы A Mn

·

Поясним, что здесь точная нижняя грань берется по всем матричным нормам на Mn.

2) Докажите, что в равенстве (3.11) символ точной нижней грани, вообще говоря, нельзя заменить на символ минимума.

§ 4. Элементы теории возмущений

Будем говорить, что A — матрица с диагональным преобладанием по строкам, если

и A — матрица с диагональным преобладанием по столбцам, если

Упражнение. Докажите теорему Гершгорина, опираясь на теорему 1 и, наоборот, докажите теорему 1, опираясь на теорему Гершгорина.

Теоремы 1, 2 можно трактовать как теоремы о возмущениях диагональной матрицы D = diag(a11, a22, . . . , ann). Первая из них показывает, что достаточно малые возмущения диагональной невырожденной матрицы приводят также к невырожденной матрице, а вторая показывает, что малые возмущения такой матрицы приводят к малым возмущениям ее характеристических чисел.

Следующие две теоремы, называемые теоремами Бауэра — Файка, в определенном смысле, распространяют теорему Гершгорина на более общий класс матриц, подобных диагональным, иначе говоря, на матрицы простой структуры (см. §6, гл. 11).

3. Теорема. Пусть для квадратной матрицы A = {aij}ni,j=1 существует невырожденная матрица V такая, что

B = {bij}ni,j=1 — произвольная квадратная матрица. Тогда все характеристические числа матрицы A + B лежат в объединении кругов

Gi = {z C : |z − λi| 6 B V V −1}, i = 1, 2, . . . , n. (4.6)

Под нормой матрицы здесь может пониматься любая норма, подчиненная абсолютной норме векторов.

4. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда все характеристические числа матрицы A + B лежат в объединении кругов

Gi = {z C : |z − λi| 6 nsi B 2}, i = 1, 2, . . . , n, (4.7)

где si = ui 2 vi 2/|(ui, vi)|, vi — i-й столбец матрицы V , ui — i-й столбец матрицы U = (V −1) .

Замечание. Ясно, что vi, λi, i = 1, 2, . . . , n, — собственные па-

¯

ры матрицы A, ui, λi, i = 1, 2, . . . , n, — собственные пары матрицы A . Каждое из чисел si, i = 1, 2, . . . , n, не меньше единицы. Их

называют коэффициентами перекоса соответствующих собственных векторов матрицы A. Если λ — алгебраически простое характери-

¯

стическое число матрицы A, то, очевидно, λ— алгебраически простое характеристическое число матрицы A . Отвечающие им собственные подпространства одномерны и, следовательно, соответствующий коэффициент перекоса определяется однозначно.

Доказательство теоремы 4. Характеристические числа матриц A+ B и Λ + V −1BV = Λ + B, где B = U BV , совпадают. Используя столбцовую теорему Гершгорина, получим, что все собственные

мируем их так, чтобы uk 2 = 1 для всех k = 1, 2, . . . , n. Очевид-

но, при этом столбцы матрицы V должны быть нормированы так, чтобы (vk, uk) = 1 для всех k = 1, 2, . . . , n. При этом будем иметьvk 2 = vk 2 uk 2/|(uk, vk)| = sk. Таким образом, из (4.8) получаем,

При сравнении оценок (4.6), (4.7) полезной оказывается

равенства (vk, uk) = 1 получаем, что uk 2 = s1k/2, k = 1, 2, . . . , n. От-

Замечание. Матрица V , столбцы которой образуют базис пространства Cn, состоящий собственных векторов матрицы A, не определяется однозначно. При любом выборе V справедливо неравенство V V −1 > 1. Равенство здесь достигается, например, тогда, когда в качестве нормы матриц выбрана спектральная норма, а матрица V унитарна. По теореме 9, с. 227 матрица унитарно подобна диагональной тогда и только тогда, когда она — нормальная матрица. Таким образом, если A — нормальная матрица, λi, i = 1, 2, . . . , n, — ее характеристические числа, то при любой матрице B все характеристические числа матрицы A + B лежат в объединении кругов Gi = {z C : |z − λi| 6 B 2}, i = 1, 2, . . . , n.

Глава 19

Неотрицательные матрицы

В этой главе изучаются спектральные свойства матриц с неотрицательными элементами. Совокупность излагаемых здесь результатов принято называть теорией Перрона — Фробениуса1).

§1. Простейшие свойства неотрицательных матриц

1.Вектор x = {xk}nk=1 Rn называется неотрицательным (пишут x > 0), если xk > 0 для всех k = 1, 2, . . . , n. Вектор x Rn называется положительным (x > 0), если xk > 0 для всех k = 1, 2, . . . , n.

>0), если

akl > 0 для всех k, l, — положительной (A > 0), если akl > 0 для всех k, l.

По определению x > y (x > y) для x, y Rn, если xk > yk (xk > yk) для всех k = 1, 2, . . . , n. Для матриц A, B одинакового

порядка полагаем A > B (A > B), если akl > bkl (akl > bkl) для всех k, l.

Аналогично понимаются неравенства противоположного смысла для векторов и матриц.

В дальнейшем будем использовать обозначения: |x| = {|xk|}nk=1 для x Cn, |A| = {|akl|} для любой матрицы A 2).

2.Отметим некоторые простейшие свойства неотрицательных векторов и матриц: если A > 0, x > 0, x ≠ 0, то Ax > 0; если A > 0, x > y, то Ax > Ay; если A > 0, x > 0, Ax = 0, то A = 0.

3.Если A > 0, ρ(A) < 1, то (I − A)−1 > 0. Действительно, если ρ(A) < 1, то (I − A)−1 = I + A + A2 + · · · (см. с. 214).

4.Лемма. Для любой квадратной матрицы A справедливо неравенство ρ(A) 6 ρ(|A|). Если |A| 6 B, то ρ(|A|) 6 ρ(B).

Доказательство. Нетрудно видеть, что |AB| 6 |A||B| для любых матриц A, B; A E 6 B E, если |A| 6 |B|. Поэтому из нера-

1)Оскар Перрон (Oskar Perron; 1880 — 1975) — немецкий математик.

2)Некоторые обозначения и термины, введенные в настоящей главе, не совпадают с использованными в предыдущих главах.

венства |A| 6 B вытекает, что Ak E 6 |A|k E 6 Bk E для любого k > 1, следовательно,

Воспользуемся теперь теоремой 6, с. 329, и перейдем к пределу в неравенствах (1.1).

5. Квадратная матрица P порядка n > 1 называется матрицей перестановок, если каждая ее строка и каждый ее столбец содержат ровно по одному ненулевому элементу, равному единице. Ясно, что матрица P ортогональна, т. е. P −1 = P T . Для любого x Cn векторы x и P x отличаются лишь порядком следования элементов.

Квадратная матрица A называется разложимой, если найдется такая матрица перестановок P , что

()

где A11, A22 — квадратные матрицы. В противном случае матрица A называется неразложимой. Матрицы A и P AP T различаются лишь перестановкой строк и столбцов (с одинаковыми номерами).

5.1. Лемма. Если матрица A неотрицательна и неразложима, то ее спектральный радиус положителен.

Доказательство. Неразложимая матрица, очевидно, не может содержать нулевых строк, поэтому Ay > 0 для любого положительного вектора y. Но тогда Apy > 0 для любого целого p > 1. Поэтому матрица A не нильпотентна и, следовательно, среди ее характеристических чисел есть ненулевые.

5.2.Следствие. Спектральный радиус положительной матрицы положителен.

5.3.Лемма Если неотрицательная матрица A порядка n неразложима, то (I + A)n−1 > 0.

есть ненулевой неотрицательный вектор, причем ненулевых компонент у него не меньше чем у вектора y. Очевидно также, что нулевые

338 Глава 19. Неотрицательные матрицы

компоненты вектора z имеют те же номера, что и нулевые компоненты вектора y. Если матрица A такова, что для любого ненулевого неотрицательного вектора y вектор z имеет больше ненулевых компонент чем вектор y, то соотношение (1.3) доказано. В противном случае можно указать такую матрицу перестановок P , что P y = (y1, 0), P z = (z1, 0), где y1, z1 — положительные векторы одинаковой длины n1 < n. Из (1.4) в результате элементарных выкладок получаем

( ) ( ) ( ) z1 y1 y1

0 = 0 0 . (1.5)

Представим матрицу B = P AP T в блочном виде

()

что B21y1 = 0. Поскольку y1 > 0, B21 > 0, отсюда вытекает, что B21 = 0, т. е. матрица A разложима.

§2. Положительные матрицы

1.Теорема. Пусть A > 0. Тогда ρ(A) > 0, и существует положительный вектор x такой, что

Доказательство. Положительность ρ(A) непосредственно вытекает из положительности матрицы A (см. следствие 5.2). Очевидно, существует характеристическое число λ матрицы A такое, что |λ| = ρ(A). Найдется не равный нулю вектор u Cn такой, что Au = λu. Тогда ρ(A)|u| 6 A|u|, и y = A|u| − ρ(A)|u| > 0. Если при этом y = 0, то ρ(A) — собственное число матрицы A, причем, поскольку |u| > 0 и |u| ̸= 0, то A|u| > 0 и поэтому |u| > 0, т. е. теорема доказана. Если принять, что y ≠ 0, то вследствие положительности матрицы A получаем, что Ay > 0. Пусть z = A|u|. Ясно, что z > 0. С другой стороны, Ay = Az − ρ(A)z > 0. Поэтому существует ε > 0 такое, что Az − (ρ(A) + ε)z > 0. Последнее неравенство можно записать в виде (I − (1/(ρ(A) + ε))A)z < 0, но матрица (I −(1/(ρ(A) + ε))A)−1 существует и положительна (см. п. 3, с. 336), следовательно, z<0. Получили противоречие. Остается принять, что y = 0.

2. Теорема. Пусть A > 0. Тогда собственное подпространство матрицы A, отвечающее ρ(A), одномерно.

Доказательство. Пусть не равные нулю векторы x, y таковы, что Ax = ρ(A)x, Ay = ρ(A)y . Как следует из доказательства предыдущей теоремы, тогда |x| > 0, |y| > 0. Положим z = y1x − x1y. Получим z1 = 0, Az = ρ(A)z. Вектор z не может быть собственным вектором, отвечающим ρ(A), так как имеет нулевую компоненту. Значит, z = 0, т. е. векторы x, y пропорциональны.

3. Лемма. Пусть A > 0. Тогда все жордановы клетки жордановой формы матрицы A, отвечающие ρ(A), имеют первый порядок.

Доказательство. Очевидно, достаточно установить, что все жордановы клетки жордановой формы матрицы B = ρ(A)−1A, отвечающие ее собственному числу, равному единице, имеют первый порядок. Предположим противное, и пусть J = SBS−1 — жорданова

форма матрицы B. Из формулы (15.3), с. 214, тогда сразу же следует,

что lim Jk ∞ = ∞, но Jk = SBkS−1, Jk ∞ 6 S ∞ Bk ∞ S−1 ∞,

k→∞

поэтому lim Bk ∞ = ∞. С другой стороны, по теореме 1 существу-

k→∞

ет положительный вектор x такой, что Bx = x, и тогда Bkx = x при любом целом неотрицательном k. Поскольку B > 0, x > 0,

то, как нетрудно убедиться, x ∞ = Bkx ∞ > min xi Bk ∞, т. е.

16i6n

Bk ∞ 6 max xi/ min xi.

16i6n 16i6n

Как известно (см. п. 1.3, с. 211), количество жордановых клеток, отвечающих характеристическому числу матрицы, совпадает с его геометрической кратностью. Поэтому из теоремы 2 и леммы 3 сразу же следует

4.Теорема. Пусть A > 0. Тогда алгебраическая кратность характеристического числа ρ(A) матрицы A равна единице.

5.Теорема. Положительная матрица A не может иметь характеристических чисел, равных по модулю ρ(A) и отличных от ρ(A).

Доказательство. Предположим противное. Тогда существует ненулевой вектор x Cn такой, что Ax = λx, |λ| = ρ(A), λ ≠ ρ(A). Как и при доказательстве теоремы 1, получаем, что A|x| = ρ(A)|x|, |x| > 0. Очевидно также, что |Ax| = ρ(A)|x|, следова-

340 Глава 19. Неотрицательные матрицы

(здесь n — порядок матрицы A). Модуль суммы ненулевых комплексных чисел может быть равен сумме их модулей лишь при усло-

вии, что существуют положительные числа α2, α3, . . . αn такие, что a1jxj = αja11x1, j = 2, 3, . . . , n 1). Следовательно,

где y = (1, y2, . . . , yn), yj = αja11/a1j > 0, j = 2, 3, . . . , n. Поэтому

Ax = x1Ay = λx = λx1y и, поскольку x1 ≠ 0, то Ay = λy. Отсюда вследствие положительности y получаем, что Ay = ρ(A)y. Таким образом x и y — собственные векторы матрицы A, отвечающие различным собственным числам. Вопреки (2.2) они не могут быть пропорциональными (см. теорему 2, с. 186).

6. Теорема. Пусть A > 0. Если собственный вектор матрицы A неотрицателен, то он отвечает ее собственному числу ρ(A).

Доказательство. В самом деле, пусть x ≠ 0, x > 0 и Ax = λx. Матрица AT положительна, поэтому существует положительный вектор y такой, что AT y = ρ(AT )y. Спектральные радиусы взаимно транспонированных матриц, очевидно, совпадают, следовательно, AT y = ρ(A)y. Умножим почленно это равенство скалярно2) на вектор x. После очевидных преобразований получим λ(x, y) = ρ(A)(x, y). Ясно, что (x, y) > 0, поэтому λ = ρ(A).

§3. Неотрицательные матрицы

1.Теорема. Пусть A > 0. Тогда существует вектор x > 0, x ≠ 0, такой, что Ax = ρ(A)x.

Доказательство. Положим Ak = A + (1/k)B, где B — положительная матрица, k — положительное целое число. Матрица Ak положительна. По теореме 1, с. 338, существует вектор xk > 0 та-

кой, что Akxk = ρ(Ak)xk. Можно считать также, что xk 2 = 1. Множество векторов xk, k = 1, 2, . . . , ограничено в пространстве Rn.

По теореме Больцано — Вейерштрасса существует подпоследвательность {xki }, сходящаяся к некоторому вектору x. Очевидно, что x > 0

1)Сделайте рисунок!

2)Здесь и далее под скалярным произведением понимается стандартное скалярное произведение в пространстве Rn.