A_G_2014

Рис. 3. К описанию геометрических свойств гиперболы

Проверка первого из этих равенств элементарна. При проверке второго полезно заметить, что

т. е. модуль разности расстояний от точки гиперболы до фокусов постоянен (см. рис. 2). Это свойство гиперболы можно было бы принять за ее определение.

Проверим справедливость равенства (2.9), считая, что выполнены соотношения (2.8). Для остальных ветвей гиперболы все рассуждения полностью аналогичны. Следуя выкладкам, выполненным в предыдущем пункте (см. (2.7)), получаем

(x + c)2 + y2 = (cx/a + a)2, (x − c)2 + y2 = (cx/a − a)2.

Для рассматриваемой ветви гиперболы, как нетрудно убедиться, справедливы неравенства

cx/a + a > 0, cx/a − a > 0.

Поэтому

√√

(x + c)2 + y2 − (x − c)2 + y2 = cx/a + a − (cx/a − a) = 2a,

т. е. (2.9) доказано.

Рис. 4. К описанию геометрических свойств параболы (a). К определению параболы (b)

5. Кривая, задаваемая уравнением (2.2), называется параболой. Опишем ее геометрические свойства (см. рис. 4, a). Большинство из них хорошо известны читателю из школьного курса математики. Будем считать, что p > 0. Рассмотрение случая p < 0 требует очевидных изменений.

Непосредственно из уравнения (2.2) вытекает, что парабола расположена в правой полуплоскости, симметрична относительно оси x. Единственной точкой пересечения с осями координат является начало координат. Эта точка называется вершиной параболы. Парабола не имеет асимптот (докажите!).

Точка (p/2, 0) называется фокусом параболы. Прямая x = −p/2 называется директрисой параболы (см. рис. 4, a). Для любой точки (x, y), принадлежащей параболе,

√

т. е. расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию этой точки до директрисы (см. рис. 4, b). Это свойство параболы можно было бы принять за ее определение.

Докажем равенство (2.10). Имеем

(x − p/2)2 + y2 = x2 − px + p2/4 + 2px = (x + p/2)2,

причем, очевидно, x + p/2 > 0 для любой точки параболы, следовательно, (2.10) выполнено.

и построить кривую в исходной декартовой системе координат x1x2.

Рис. 5. К примеру исследования уравнения кривой второго порядка

Решение. В данном случае a11 = a22 = 3, a12 = 5, a1 = −1, a2 = −7, a0 = −13. По формуле (1.8), с. 274, имеем λ1 = 8, λ2 = −2, по формуле (1.10), с. 274, полу-

чаем tg φ1 = 1, tg φ2 = −1. Далее действуем в соответствии с предписаниями § 1, т. е. нумеруем углы и соответствующие им собственные числа так, чтобы выполнялись усло-

вия −π/2 6 φ1 < φ2 6 π/2. Таким образом получаем λ1 = −2, φ1 = −π/4, λ2 = 8, φ2 = π/4. По формуле (1.12), с. 275,

Из (2.13), (2.16) получаем, что x = x0 + T y, где x0 = (2, −1). Таким образом, кривая задаваемая уравнением (2.11) есть гипербола, описываемая уравнением (2.15) в декартовой системе координат y1y2, оси которой повернуты на угол −π/4 против часовой

стрелки (π/4 — по часовой стрелке) по отношению к осям декартовой системы координат x1x2, а начало системы координат y1y2 расположено в точке (2, −1) относительно системы координат x1x2 (см. рис. 5).

Отметим, что если оставить в стороне вопрос о расположении кривой по отношению к исходной системе координат, то уравнение (2.14) может быть выписано непосредственно по формулам п. 5, с. 277. Для этого учтем, что уравнению (2.11) соответствуют

Поскольку det(A) = −16 ≠ 0, собственные числа матрицы A есть λ1 = −2, λ2 = 8, det(B) = 128, то приведенной формой уравнения (2.11) будет уравнение (2.14).

Глава 16

Поверхности второго порядка

§ 1. Приведение к простейшему виду уравнения поверхности второго порядка

1. Отнесем трехмерное евклидово пространство V3 к декартовой системе координат (см. п. 1, с. 43). Поверхностью второго порядка называется множество всех точек x = (x1, x2, x3) R3, удовлетворяющих уравнению1)

есть заданная симметричная ненулевая матрица, a = (a1, a2, a3) — заданный вектор, a0 — заданное число.

Простейший пример: уравнение сферы радиуса R с центром в точке x0 = (x01, x02, x03), как известно (см. с. 57), имеет вид

(x1 − x01)2 + (x2 − x02)2 + (x3 − x03)2 − R2 = 0.

После элементарных преобразований получаем

(x, x) − 2(x0, x) + |x0|2 − R2 = 0,

т. е. в данном случае A = I, a = −x0, a0 = |x0|2 − R2.

Упрощение уравнения (1.1) опирается на общую теорию квадратичных функций и проводится по той же схеме, что и для кривых

где T — некоторая ортогональная матрица. Геометрически эта замена переменных состоит в переносе начала координат в точку x0,

1)В этой главе под скалярным произведением всюду понимается стандартное скалярное произведение в пространстве R3.

повороте системы координат вокруг некоторой оси и, возможно, последующем изменении направления этой координатной оси (см. п. 3, с. 254). Однако построение матрицы T не может быть выполнено в общем случае с той же степенью подробности, как для кривых второго порядка, поскольку задача приведения симметричной матрицы третьего порядка ортогональным преобразованием подобия к диагональному виду не допускает решения по простым явным формулам.

2. Из общей теорией квадратичных функций вытекает, что, выбирая соответствующим образом начало x0 новой декартовой системы координат и ортогональную матрицу T , уравнение (1.1) поверхности второго порядка можно преобразовать к одному из следующих пяти видов:

3. Аналогично случаю кривых второго порядка коэффициенты уравнений (1.4)–(1.8) могут быть однозначно выражены через коэффициенты исходного уравнения (1.1). Введем в рассмотрение наряду с матрицей A, определенной равенством (1.2), матрицу

и выпишем, используя теоремы 3.4, 3.5, с. 271, выражения для коэф-

фициентов уравнений (1.4)–(1.8):

√

aˆ0 = I4(B)/I3(A) = det(B)/ det(A), aˆ3 = − det(B)/I2(A)

aˆ0,1 = I3(B)/I2(A), aˆ2 = −I3(B)/I1(A), aˆ0,2 = I2(B)/I1(A).

мые, учитывая, что в первом случае ранг матрицы A не превосходит двух (см. (1.6), (1.7)) и, следовательно, ее определитель равен нулю, а во втором случае ранг матрицы A равен единице (см. (1.8)) и, следовательно, все ее миноры второго порядка — нули.

§ 2. Геометрические свойства поверхностей второго порядка

Опираясь на уравнения (1.4) – (1.8), исследуем геометрические свойства поверхностей второго порядка. Для удобства записей в дальнейшем изменим очевидным образом обозначения для декартовых координат и некоторых коэффициентов. Таким образом, нам предстоит исследовать поверхности, описываемые следующими уравнениями:

1. Начнем с уравнения (2.5). Здесь возможны три случая: d√< 0,

поверхность распадается на две параллельные плоскости y = −d,

√

y = − −d; d = 0 поверхность представляет собой плоскость y = 0; d > 0 нет ни одной точки пространства, удовлетворяющей уравнению, говорят, что уравнение описывает пару параллельных мнимых плоскостей.

2.Как показано в предыдущей главе, уравнение (2.4) описывает параболу на плоскости переменных (x, y), поэтому соответствующая поверхность есть так называемый параболический цилиндр с образующей, параллельной оси z. Любое сечение этой поверхности плоскостью z = const — парабола (см. рис. 1).

3.Уравнение (2.3) в зависимости от знаков λ1, λ2, d может описывать эллипс или гиперболу в декартовой плоскости x, y. Соответствующие поверхности — эллиптический или гиперболический цилиндр

(см. рис. 1). Понятно, что здесь возможны случаи вырождения, аналогичные, изученным в пункте 2, с. 278.

Рис. 1. Цилиндры

4. Обратимся к уравнению (2.2). Здесь нужно различать два случая: 1) числа λ1, λ2 имеют одинаковые знаки, 2) знаки чисел λ1, λ2 различны.

Пусть числа λ1, λ2 имеют одинаковые знаки. Для определенности будем считать, что они положительны. Будем считать, что b3 < 0. Если принять, что b3 > 0, то получим, очевидно, такую же поверхность, но симметричную относительно плоскости x, y. Если b3 = 0, то мы приходим к одной из поверхностей, рассмотренных в предыдущих пунктах. При сделанных предположениях уравнение (2.2) можно записать в виде

Здесь a2 = 2|b3|/λ1, b2 = 2|b3|/λ2. При z < 0 уравнение (2.2) противоречиво, т. е. вся поверхность расположена в полупространстве z > 0. Единственная точка плоскости z = 0, принадлежащая поверхности, — начало координат. Координатные плоскости x = 0, y = 0 являются

плоскостями симметрии, ось z является осью симметрии, так как если точка (x, y, z) принадлежит поверхности, то точки (−x, y, z), (x, −y, z), (−x, −y, z) также принадлежат поверхности. Записывая уравнение (2.2) при z > 0 в виде

получаем, что сечения этой поверхности плоскостями z = const > 0 — эллипсы, полуоси которых увеличиваются с ростом z (см. рис. 2). Сечения этой поверхности плоскостям x = const или y = const, как нетрудно убедиться, — параболы (см. рис. 2). Описанную поверхность называют эллиптическим параболоидом.

Пусть числа λ1, λ2 имеют разные знаки. Будем считать, что

λ1 > 0, λ2 < 0, b3 < 0.

Рис. 2. Эллиптический параболоид

Любое другое допустимое сочетание знаков рассматривается аналогично. Уравнение (2.2) можно записать в виде

Здесь a2 = 2|b3|/λ1, b2 = 2|b3|/|λ2|. Вновь координатные плоскости x = 0, y = 0 являются плоскостями симметрии, ось z является

осью симметрии.

Проанализируем сечения этой поверхности плоскостями, параллельными координатной плоскости x, y (см. рис. 3, b). При z = 0

из (2.2) получаем

b2x2 − a2y2 = 0,

т. е. сечение поверхности плоскостью z = 0 — пара прямых (см. рис. 3, b)

y = ±ab x.

При z = h ≠ 0 запишем уравнение (2.2) в виде

При h > 0 уравнение (2.9) — уравнение гиперболы, ветви которой вытянуты вдоль оси x. При h < 0 получаем гиперболу, ветви которой вытянуты вдоль оси y (см. рис. 3, b).

Пересекая поверхность плоскостью x = h, получаем параболу

ветви которой направлены противоположно оси z. Пересекая поверхность плоскостью y = h, очевидно, получим параболу, ветви которой

Рис. 3. Гиперболический параболоид (a). Сечения гиперболического параболоида плоскостями z = h при различных значениях h (b)

направлены вдоль оси z. Описанную седлообразную поверхность называют гиперболическим параболоидом (см. рис. 3, a).

5. Обратимся, наконец, к уравнению

Не ограничивая общности, здесь можно различать два случая:

1)λ1, λ2, λ3 > 0, это условие эквивалентно условию положительной определенности матрицы A (см. с. 223);

2)λ1, λ2 > 0, λ3 < 0.

В случае 1) возможны три ситуации: d = 0, единственная точка, удовлетворяющая (2.11), — начало координат; d > 0, нет ни одной точки пространства, удовлетворяющей этому уравнению; d < 0. При выполнении последнего условия уравнение (2.11) запишем в виде

Здесь a2 = −d/λ1, b2 = −d/λ2, c2 = −d/λ3. Поверхность, описываемая уравнением (2.12), называется эллипсоидом (см. рис. 4, a).

Эллипсоид, очевидно, симметричен относительно всех трех координатных плоскостей и относительно начала координат. Вся поверхность заключена в параллелепипеде

|x| 6 a, |y| 6 b, |z| 6 c

и, следовательно, ограничена.