A_G_2014

5. Доказательство теоремы 1. Пусть A — произвольный линейный оператор, действующий в пространстве Xn, Fn = {fk}nk=1 — произвольно фиксированный базис в Xn. Тогда AFn = FnAf , где Af — матрица оператора A в этом базисе (см. (6.3), с. 162). По теореме Шура существует унитарная матрица U такая, что Af = UT U , где T — матрица вида (10.2), λ1, λ2, . . . , λn — характеристические числа матрицы Af , или, что все равно, — собственные числа оператора A, следовательно, AFn = FnUT U , или AFnU = FnUT . Положим En = FnU. Тогда AEn = EnT . Таким образом, T — матрица оператора A в базисе En.

§11. Нильпотентный оператор

1.Оператор A, действующий в конечномерном пространстве Xn, называется нильпотентным, если существует целое число q > 1 такое, что Aq = 0. Наименьшее q, для которого выполнено указанное равенство, называется индексом нильпотентоности оператора A. Аналогичным образом вводится понятие нильпотентности квадратной

матрицы.

Вследствие (6.8), с. 163, имеем Aqe = E−1AqE, поэтому, если A — нильпотентный оператор, то и его матрица в любом базисе нильпотентна с тем же индексом нильпотентности и, наоборот, если матрица оператора в некотором базисе нильпотентна, то и оператор нильпотентен с тем же индексом нильпотентности.

2.Лемма. Пусть A — треугольная матрица порядка n, все диагональные элементы которой равны нулю. Тогда A — нильпотентная матрица, индекс ее нильпотентности не превосходит n.

Доказательство. Для определенности будем считать, что A — нижняя треугольная матрица. В случае верхней треугольной матрицы рассуждения повторяются, практически, дословно. Пусть x — произвольный вектор из Cn. Тогда, как нетрудно видеть, первая компонента вектора Ax равна нулю. Аналогично проверяется, что первые две компоненты вектора A(Ax) = A2x равны нулю. Продолжая эти вычисления, получим, что все компоненты вектора Anx рав-

ны нулю. Вследствие произвольности вектора x отсюда вытекает, что An = 0.

3. Теорема. Для того, чтобы оператор A был нильпотентным, необходимо и достаточно, чтобы все его собственные числа были равны нулю.

3.1. Теорема 3, очевидно, эквивалентна следующему утверждению. Для любого оператора A, действующего в конечномерном комплексном пространстве Xn, можно указать базис En, в котором матрица оператора A принимает вид (12.3), т. е.

Базис, в котором матрица оператора принимает жорданову форму, называется жордановым базисом.

4.Наиболее просто доказательство существования жорданова базиса проводится для нильпотентного оператора. Отметим, что в соответствии с теоремой 3, с. 201, и теоремой Шура для того, чтобы оператор был нильпотентным, необходимо и достаточно, чтобы матрица этого оператора в некотором базисе была верхней треугольной

снулевыми элементами на главой диагонали.

4.1.Теорема. Пусть Xn — комплексное линейное простран-

ство, A : Xn → Xn — нильпотентный оператор. Тогда существует базис пространства Xn, в котором матрица оператора A принимает жорданову форму

Здесь n1 + n2 + · · · + nm = n.

Доказательство. Принимая во внимание сказанное в п. 2, нетрудно убедиться, что доказываемое утверждение эквивалентно следующему: для любого нильпотентного оператора A : Xn → Xn существуют векторы f1, f2, . . . fm такие, что

f1, Af1, A2f1, . . . , An1−1f1, f2, Af2, A2f2, . . . , An2−1f2, . . . ,

fm, Afm, A2fm, . . . , Anm−1fm (12.6)

Существование искомого базиса докажем индукцией по размерности пространства. Для случая нильпотентного оператора, действующего в одномерном пространстве, доказываемое утверждение выполняется тривиальным образом. Предположим, что оно верно для

любого пространства размерности меньше n, и покажем, что тогда это утверждение справедливо и для пространства размерности равной n.

Оператор A нильпотентен, следовательно, def(A) > 1, поэтому (см. (5.1), с. 161) rank(A) < n. Подпространство Im(A), очевидно, инвариантно относительно оператора A, поэтому в силу предположения индукции существуют векторы u1, u2, . . . , uk такие, что векторы

u1, Au1, A2u1, . . . , Ap1−1u1, u2, Au2, A2u2, . . . , Ap2−1u2, . . . ,

uk, Auk, A2uk, . . . , Apk−1uk (12.8)

Для i = 1, 2, . . . , k векторы ui принадлежат Im(A), следовательно, существуют векторы vi Xn такие, что

принадлежат базису (12.8), следовательно, они линейно независимы. Соотношения (12.9) показывают, что эти векторы принадлежат Ker(A). Отсюда вытекает, что можно построить векторы w1, w2, . . . , wl, дополняющие векторы (12.11) до базиса подпространства Ker(A).

Если мы покажем теперь, что векторы

v1, Av1, . . . , Ap1 v1, v2, Av2, . . . , Ap2 v2, . . . , vk, Avk, . . . , Apk vk,

w1, w2, . . . , wl (12.12)

образуют базис пространства Xn, то, очевидно, это и будет искомым базисом Жордана оператора A. Система (12.12) содержит n векторов. В самом деле, в этой системе p1 + · · · + pk + k + l элементов, причем

p1 + · · · + pk = rank(A), и k + l = def(A), а для любого оператора A справедливо равенство rank(A) + def(A) = n. Далее, пусть

α1,0v1 +α1,1Av1 +· · ·+α1,p1 Ap1 v1 +α2,0v2 +α2,1Av2 +· · ·+α2,p2 Ap2 v2+

+· · · + αk,0vk + αk,1Avk + · · · + αk,pk Apk vk+

+β1w1 + β2w2 + · · · + βlwl = 0. (12.13)

Подействуем на обе части этого равенства оператором A, учтем соотношения (12.9), (12.10) и тот факт, что w1, w2, . . . , wl Ker(A). Получим

α1,0u1 + α1,1Au1 + · · · + α1,p1−1Ap1−1u1+

+α2,0u2 + α2,1Au2 + · · · + α2,p2−1Ap2−1u2+

+· · · + αk,0uk + αk,1Auk + · · · + αk,pk−1Apk−1uk = 0. (12.14)

Векторы (12.8) линейно независимы, следовательно, все коэффициенты линейной комбинации в левой части (12.14) — нули и равенство (12.13) принимает вид

α1,p1 Ap1 v1 + α2,p2 Ap2 v2 + · · · + αk,pk Apk vk+

+β1w1 + β2w2 + · · · + βlwl = 0. (12.15)

Влевой части (12.15) — линейная комбинация базисных векторов подпространства Ker(A), поэтому все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Таким образом, показано, что все коэффициенты линейной комбинации в правой части равенства (12.13) могут быть

только нулями, т. е. система векторов (12.12) линейно независима, содержит n векторов и потому является базисом пространства Xn.

Непосредственным обобщением теоремы 4.1 является

4.2. Теорема. Пусть оператор A, действующий в комплексном пространстве Xn, имеет вид A = A0 + λI, где A0 — нильпотентный оператор, λ — произвольное число. Тогда в базисе Жордана оператора A0 матрица оператора A имеет жорданову форму

Справедливость этого утверждения следует из того, что линейным операциям над операторами соответствуют линейные операции над их матрицами, а матрица тождественного оператора в любом базисе — единичная матрица.

5. Теорема. Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, λ1, λ2, . . . , λk — попарно различные характеристические числа матрицы A кратностей n1, n2, . . . , nk, n1 + n2 + · · ·+ nk = n.

Существует невырожденная матрица S такая, что

есть блочно диагональная матрица, каждый диагональный блок Ti — верхняя треугольная матрица порядка ni, все диагональные элементы матрицы Ti равны λi.

Доказательство. Сначала, используя теорему Шура, приведем унитарным подобием матрицу A к верхнему треугольному виду T . При этом характеристические числа матрицы A будем упорядочивать так, как это сделано в формулировке настоящей теоремы, т. е. сначала на диагонали треугольной матрицы будут расположены n1 чисел λ1, затем n2 чисел λ2 и т. д.

Для того, чтобы завершить доказательство теоремы, нужно построить преобразование подобия, которое уничтожит лишние ненулевые элементы верхней треугольной матрицы и приведет ее к виду (12.17).

Искомое преобразование будет получено как результат последовательных элементарных преобразований подобия, основанных на использовании матриц вида I + αErs, где, напомним, Ers — матрица, у которой элемент в позиции (r, s) равен единице, а все остальные элементы — нули. Нетрудно убедиться, что если r ≠ s, то при любом

α справедливо равенство (I + αErs)(I − αErs) = I, т. е. матрицы (I + αErs), (I − αErs) взаимно обратны.

Проводя элементарные вычисления, нетрудно проверить, что для любой верхней треугольной матрицы T матрица

при r < s отличается от T только элементами, стоящими в r-й строке правее s-го столбца, и элементами, стоящим в s-м столбце выше r-й строки, а также элементом в позиции (r, s), который при-

нимает значение, равное trs + α(trr − tss). Если trr ≠ tss, то полагая α = −trs/(trr − tss), преобразованием подобия (12.18) получим

матрицу, которая, как и T , — верхняя треугольная матрица, ее диагональные элементы такие же, как у T , а элемент в позиции (r, s) равен нулю.

Обратимся теперь к верхней треугольной матрице T , полученной, как уже говорилось, из матрицы A при помощи теоремы Шура. Будем

перебирать элементы матрицы T по строкам в следующем порядке:

(n−1, n); (n−2, n−1), (n−2, n); (n−3, n−2), (n−3, n−1), (n−3, n);

. . . Если при этом окажется, что соответствующие элементы trr и tss различны, то элемент trs превратим в нулевой при помощи описанного выше преобразования подобия (12.18). Важно подчеркнуть, на каждом шаге такого преобразования нули, полученные на предыдущих шагах, не будут портиться . В результате будет построена матрица, подобная матрице A и имеющая вид (12.17). Упражнение.

Опираясь на теорему 5, докажите, что для любого оператора A, действующего в пространстве Xn, существуют такие его инвариантные подпространства M и N, что Xn = M u N, сужение оператора A на подпространство M есть нильпотентный оператор, сужение оператора A на подпространство N — обратимый оператор.

6. Доказательство теоремы 3. Представление (12.2) получается как результат последовательного выполнения следующих этапов.

1)Опираясь на теорему Шура, находим верхнюю треугольную матрицу T унитарно подобную матрице A.

2)Используя метод, описанный в доказательстве теоремы 5, приведем матрицу T к блочно диагональному виду. Каждый блок здесь будет верхней треугольной матрицей, у которой все диагональные элементы равны между собой и совпадают с некоторым характеристическим числом матрицы A.

3)Применяя теоремы 4.1, 4.2, каждый блок, полученный на втором этапе, независимо приведем к виду (12.16).

При исследовании единственности жордановой формы нам потребуется

7. Лемма. Для жордановой клетки Jk(0) справедливы следующие соотношения:

Доказательство. Справедливость (12.19) сразу следует из леммы 2, с. 201, (12.20) легко проверяется непосредственными вычислениями. При этом полезно отметить, что при последовательном увеличении степени матрицы Jk(0) ее ненулевые столбцы вытесняются вправо.

8. Теорема. Жорданова матрица (12.2) определяется по матрице A однозначно (с точностью до перестановок жордановых клеток на главной диагонали).

Если мы установим, что это невозможно, то теорема будет доказана. Положим для определенности, что n1 > m1 и возведем обе части равенства (12.21) в степень m1. Получим

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

§ 13. Структура базиса Жордана. Корневые и циклические подпространства

1. Матрица Жордана имеет блочно диагональную структуру, следовательно, пространство Xn можно представить в виде прямой суммы инвариантных подпространств оператора A, соответствующих этим блокам (см. п. 2.1, с. 182). Подпространство, отвечающее блоку Jnj (λj) в представлении (12.2), называется циклическим подпространством. Прямая сумма всех циклических подпространств, отвечающих одному и тому же собственному числу λ оператора A, называется корневым подпространством.

Исследуем подробнее структуру циклических и корневых подпространств.

1.1. Пусть собственному числу λ оператора A отвечает циклическое подпространство размерности m. Пусть для определенности ему соответствуют векторы {ek}mk=1 базиса En. Вследствие (12.4) получаем

Отсюда сразу вытекает, что вектор e1 — собственный вектор оператора A, и поскольку векторы e1, e2, . . . , em−1, конечно, не нули, то все остальные векторы e2, e3, . . . , em не являются собственными векторами оператора A.

1.2. Каждое циклическое подпространство содержит ровно один собственный вектор оператора A. В самом деле, если предположить,

что вектор x = ξ1e1 +ξ2e2 +· · ·+ξmem — собственный вектор оператора A, то Jm(λ)ξ = λξ, где ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξm)T . Последнее равенство эквивалентно тому, что Jm(0)ξ = 0. Ранг матрицы Jm(0) равен m −1,

так как det Jm(0) = 0, а минор, получающийся при вычеркивании первого столбца и последней строки матрицы Jm(0), равен единице. Поэтому размерность ядра матрицы Jm(0) равна единице.