A_G_2014

где i, k = 1, 2, . . . , n, δik — символ Кронекера, то формулы (5.6) будут давать решение системы (5.1). Сравнивая соотношения (5.8) с формулами (3.1), с. 77, нетрудно заметить, что если положить

то условия (5.8) будут выполнены. Подставляя найденные выражения для cik в (5.6), получим следующие формулы для решения системы (5.1):

xi = (A1ib1 + A2ib2 + · · · + Anibn)/|A|, i = 1, 2, . . . , n. (5.10)

Используя разложение определителя по столбцу, соотношения (5.10) можно переписать в более компактном виде:

Здесь ∆ = |A|, ∆i — определитель, который получается заменой i-го столбца определителя ∆ правой частью системы (5.1).

Формулы (5.11) называют формулами Крамера.

Пример. Решим при помощи формул Крамера систему уравнений

x1 = ∆1/∆ = 1, x2 = ∆2/∆ = −1, x3 = ∆3/∆ = −2, x4 = ∆4/∆ = 1.

Замечание. В вычислительной практике формулы Крамера используются очень редко. Чаще для решения систем линейных алгебраических уравнений применяются различные варианты метода исключения неизвестных (метода Гаусса) или итерационные методы. Подробнее по этому поводу см. с. 99, с. 303.

2. В качестве примера применения теории крамеровских систем построим так называемую интерполяционную формулу Лагранжа.

2.1. Теорема. Пусть z0, z1, . . . , zn — попарно различные числа, h0, h1, . . . , hn — произвольные числа. Тогда существует, и при

том только один, полином Pn(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · · + anzn такой, что

Доказательство. Условия (5.12) представляют собой систему линейных уравнений относительно коэффициентов полинома Pn. Определитель этой системы — определитель Вандермонда (см. с. 81). Он, очевидно, не равен нулю, поэтому система уравнений (5.12) имеет единственное решение при любой правой части.

2.2.Теперь ясно, что если полином степени n всюду (на самом деле, по крайней мере в n + 1 различных точках) равен нулю, то все его коэффициенты — нули.

2.3.Нетрудно построить в явном виде полином, удовлетворяющий условиям (5.12), а именно, решение задачи дает интерполяци-

онная формула Лагранжа1)

1)Жозеф Луи Лагранж (Joseph Louis Lagrange; 1736 — 1813) — французский математик, астроном и механик итальянского происхождения.

для j = 0, 1, 2 . . . , n.

Как показано в п. 3, с. 24, полином своими корнями определяется с точностью до постоянного множителя, следовательно,

Φj(z) = Aj(z − z0)(z − z1) · · · (z − zj−1)(z − zj+1) · · · (z − zn).

Используя (5.15), найдем значение постоянной:

где j = 0, 1, 2, . . . , n.

§6. Матрицы. Операции над матрицами

1.Выше было введено понятие квадратной матрицы. Прямоугольной матрицей A размера m ×n называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов:

Элементами таблицы служат числа aij (вообще говоря, комплексные). Иногда будем явно указывать размеры матрицы A и обозначать ее через A(m, n).

Отметим некоторые частные случаи. При m = n получаем квадратную матрицу. Ее размер (говорят также порядок) будем обозначать одной буквой n.

Если m = 1, а n произвольно, получаем матрицу-строку (или,

Говорят, что эта строка имеет длину n.

Если n = 1, а m произвольно, получаем матрицу-столбец (или,

Говорят, что этот столбец имеет длину m. Подчеркнем, что при записи строк и столбцов второй индекс обычно не пишут. Столбцы или строки часто будем называть векторами.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы — нули. Нулевая матрица обозначается символом 0.

2. Опишем некоторые специальные виды квадратных матриц.

2.1. Говорят, что элементы a11, a22, . . . , ann образуют главную диагональ квадратной матрицы A. Квадратная матрица D называется диагональной, если dij = 0 при i ≠ j, или, подробнее,

Для диагональной матрицы будем использовать также обозначение

D = diag(d11, d22, . . . , dnn).

Диагональная матрица называется единичной, если dii = 1 для всех i = 1, . . . , n. Единичную матрицу будем обозначать буквой I:

00 . . . 1

2.2.Матрица Pik называется матрицей перестановки, если она получена из единичной матрицы перестановкой строк с номерами i, k. Например, матрицами перестановок третьего порядка являются матрицы