A_G_2014

Получим формулы для решения системы, вновь используя метод Гаусса. Поделим обе части уравнения (2.1) на a11. Полученное уравнение умножим на a21 и вычтем почленно из уравнения (2.2). Аналогично поступим с уравнением (2.3). В результате система (2.1) – (2.3) преобразуется к виду

Теперь из уравнений (2.6), (2.7) исключим неизвестную x2 по аналогии с тем, как мы исключали неизвестную x1 из системы (1.1). После элементарных преобразований получим

знаменателю, а именно, множители при определителях второго порядка заменены на b1, b2, b3 соответственно. Формуле (2.8) поэтому можно придать вид

Зная выражение для x3, из уравнения (2.6) найдем выражение для x2, а затем при помощи уравнения (2.5) — для x1. Можно избежать этих громоздких вычислений, действуя следующим образом. Запишем систему (2.1) – (2.3) в виде

a11x1 + a13x3 + a12x2 = b1, a21x1 + a23x3 + a22x2 = b2, a31x1 + a33x3 + a32x2 = b3.

Формулы (2.10) – (2.12) имеют смысл, если определитель матрицы A не равен нулю. Полное исследование разрешимости линейных систем с тремя неизвестными в случае, когда определитель |A| равен нулю, довольно сложно. Позже мы рассмотрим этот вопрос применительно

ксистемам с произвольным числом неизвестных.

2.Формулам (2.10) – (2.12) мы придадим в дальнейшем более симметричный вид, но сначала представим определитель в более удобной для дальнейших исследований форме.

Вычислим входящие в (2.9) определители второго порядка, раскроем скобки и соберем вместе слагаемые с одинаковыми знаками. Получим:

|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32−

− a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32. (2.13)

Для того, чтобы подметить закономерность расстановки знаков в этой сумме, нам полезно будет ввести некоторые новые понятия и обозначения.

Три целых числа 1, 2, 3 можно расположить шестью различными способами:

Иначе говоря, из трех чисел, можно составить шесть различных перестановок.

В дальнейшем будет удобно записывать перестановки в виде n1n2n3, подразумевая под ni одно из чисел 1, 2, 3. Причем, конечно, все числа n1, n2, n3 считаются различными.

Рассмотрим некоторую конкретную перестановку n1n2n3 и составим все пары чисел ninj, где i < j. Понятно, что таких пар всего

три: n1n2, n1n3 и n2n3. Говорят, что пара чисел ninj, где i < j, образует инверсию, если ni > nj. Каждой перестановке соответствует опре-

деленное количество инверсий, а именно, 0, 1, 2, или 3. Количество инверсий в перестановке n1n2n3 будем обозначать через σ(n1, n2, n3).

Перестановку n1n2n3 будем называть четной, если ей соответствует четное количество инверсий (нуль считается четным числом). В противном случае перестановка называется нечетной.

Нетрудно убедиться, что первые три из перестановок (2.14) четные, а остальные нечетные.

Каждое слагаемое в выражении определителя (2.13) имеет вид

±a1n1 a2n2 a3n3 ,

причем знак плюс ставится в том случае, когда перестановка n1n2n3 четная. В противном случае ставится знак минус. Равенство (2.13) с

использованием введенных обозначений можно записать в виде

∑

n1n2n3

на всевозможные перестановки n1n2n3.

Для запоминания способа расстановки знаков в (2.13) полезно использовать схему, представленную на рис. 1.

Рис. 1. Правило расстановки знаков в определителе третьего порядка

§ 3. Свойства определителей третьего порядка

1. Матрица

называется матрицей, транспонированной по отношению к матрице A.

Матрица AT состоит из тех же элементов, что и матрица A, но расположенных в другом порядке. Первый столбец матрицы AT состоит из элементов первой строки матрицы A. Аналогичное справедливо и для последующих столбцов матрицы AT .

Вычисляя по формуле (2.13) определитель матрицы AT , получим

|AT | = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−

− a31a22a13 − a21a12a33 − a11a32a23. (3.1)

Сравнивая |AT | и |A|, легко заметить, что они различаются только порядком следования сомножителей в соответствующих слагаемых и порядком расположения этих слагаемых.

Таким образом, определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Все дальнейшие свойства определителей формулируются в терминах их строк. По только что доказанному свойству 1 они будут справедливы и для столбцов.

2.Непосредственно из формулы (2.15) вытекает, что если все элементы некоторой строки определителя — нули, то определитель равен нулю.

3.Если элементы некоторой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель представляется

ввиде суммы определителей. Запишем соответствующую формулу

36 Глава 3. Определители второго и третьего порядков

5. Если в определителе поменять местами две строки, то знак его изменится на противоположный, например,

Формулам, дающим решение системы (2.1) – (2.3), можно придать теперь компактный вид

где ∆ = |A|, а ∆i получается из |A| заменой i-того столбца столбцом правой части системы (2.1) – (2.3). Формулы (3.5) называют формулами Крамера.

Продолжим изучение свойств определителей третьего порядка.

6. Определитель не изменится, если к некоторой его строке добавить другую, умноженную на произвольное число. Опять проведем доказательство, рассматривая первую и вторую строки. Используя

Последний определитель равен нулю, так как его первая и вторая строки совпадают.

7. Получим необходимое и достаточное условие равенства определителя |A| нулю. Будем говорить, что строки определителя линейно зависимы, если существуют числа α, β, γ, не все равные нулю, и такие, что

αa1j + βa2j + γa3j = 0, j = 1, 2, 3.

В дальнейшем будем для определенности считать, что α ≠ 0. Тогда

где c1 = −β/α, c2 = −γ/α. Говорят, что в этом случае первая строка есть линейная комбинация второй и третьей строк.

Покажем, что определитель |A| равен нулю тогда и только тогда, когда его строки линейно зависимы.

Пусть для строк определителя выполнено условие (3.6). Умножим вторую строку определителя на −c1 и прибавим к первой. Величина определителя не изменится. Умножим третью строку на −c2 и прибавим к первой строке преобразованного определителя. Вновь величина

Наконец, рассматривая нулевой определитель

Равенства (3.7) – (3.9) означают, что первая строка определителя есть линейная комбинация второй и третьей строк.

8. Получим так называемую формулу разложения определителя по строке. Используя свойство 3, запишем следующие равенства: