Евклидово пространство

Теперь в n-мерном линейном векторном арифметическом пространстве R введем метрику, т.е. способ измерения длин и углов. Метрику можно ввести с помощью скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов х= (х₁,x₂,...,х_n) и у= (y₁,y₂,…,y_n) называется число xy

xy =x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n=.(1)

Скалярное произведение может иметь и экономический смысл. Если, х=(х₁,x₂,...,х_n) есть вектор количества различных товаров, ау=(y₁,y₂,…,y_n) вектор их цен, тохудаст суммарную стоимость этих товаров.

Скалярное произведение удовлетворяет следующим аксиомам:

1. xy =yx — коммутативное свойство;

2. х(у+г) = ух+xz — дистрибутивное свойство;

3. (х)у= (ху) — для любого действительного числа ;

4. хх>0 если х — ненулевой вектор и xx=0, если х =0.

Линейное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем аксиомам, называют евклидовым пространством,

Длиной вектора х в евклидовом пространстве является корень квадратный из его скалярного квадрата:

. (2)

Длина вектора обладает следующими свойствами :

1. тогда и только тогда, когдах = 0;

2. , где — действительное число;

3.—неравенство Коши—Буняковского;

4.—неравенство треугольника.

Угол  между двумя векторами х и у определяется равенством

cos  = (3)

Такое определение корректно, так как согласно неравенству Коши-Буняковского .

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен /2.

Векторы e₁,e₂,…,e_n n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице, т.е. если е_iе_j = 0 при ij и приi= 1,2,...,n.

Для установления корректности приведенного определения необходимо убедиться, что векторы e₁,e₂,…,e_n образуют базис п-мерного пространства Rⁿ. Для этого достаточно показать, что векторы e₁,e₂,…,e_n линейно независимы, т.е. равенство

₁e₁+₂e₂+…+_ne_n=0 (4)

выполняется лишь при ₁=₂=…=_n = 0.

Действительно, умножая скалярно равенство (4) на любой из векторов e_i, (i= 1,2,..., п), получим

₁ (e₁,e_i)+₂ (e₂ ,e_i)+…+_n( e_n,e_i)=0,

Учитывая, что e_i,e_j = 0, при ij и e_i,e_i 0 при любых i, получим, что _i = 0 при всех i = 1,2,...,n.

Основная теорема. Во всяком п-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система единичных векторов e_i, у которых i-я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю: е₁ =(1, 0,...,0)', e₂=(0,1,..,0)',…, е_n=(0,0,…,1)'.

Линейные операторы

Рассмотрим два линейных пространства:Rⁿ — размерности п и R^m —размерности т.

Если задан закон, по которому каждому вектору х из пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор у в пространстве R^m , то говорят что задан оператор (преобразование, отображение) А(х), действующий из Rⁿ в R^m. Этот факт записывают следующим образом

у = А(х).

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов х и у пространства Rⁿ и любого числа  выполнются соотношения:

1. А(х + у) = А (х) + А (у) — свойство аддитивности и

2. А (х) = А (х) — свойство однородности.

Вектор у = А(х) называется образом вектора х, а сам вектор х — прообразом вектора у.

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то оператор А отображает пространство Rⁿ в себя. Именно такие операторы мы будем рассматривать ниже.

Выберем в пространстве Rⁿ базис e₁,e₂,…,e_n и запишем разложение произвольного вектора х по данному базису:

x = x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n.