- •Линейная алгебра Матрицы и определители.
- •Операции над матрицами.
- •Определители и их свойства.
- •Свойства определителей.
- •Обратная матрица и алгоритм ее вычисления.
- •Понятие о ранге матрицы
- •Системы линейных уравнений. Решение и исследование системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
- •Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
- •Решение произвольных систем линейных уравнений
- •Решение однородных систем линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Модель многоотраслевой экономики (балансовый метод или модель Леонтьева)
- •Многомерные вектора и векторные пространства
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Переход к новому базису
- •Евклидово пространство
- •Линейные операторы
- •В силу линейности оператора Аполучаем
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Квадратичные формы
- •Модель международной торговли
Модель многоотраслевой экономики (балансовый метод или модель Леонтьева)
Каждая отрасль производства производит продукцию ипотребляет как продукцию других отраслей, так и свою собственную.
Задача: Найти объем производства каждой изотраслей, который удовлетворит все потребности всех отраслей и конечного потребителя.
Математическая модель и решение этой задачи были разработана В. Леонтьевым.
Пусть
- валовой объем продукции -той отрасли,
- объем продукции-той отрасли, потребляемой-той отраслью,
- объем продукции -той отрасли для непроизводственного потребления.
–-тая отрасль.
Если мы рассматриваем отраслей, то, и соотношения баланса можно представить в виде уравнений:
(1)
Пусть все величины в (1) имеют стоимостное выражение (в рублях например). Тогда можно ввести так нназываемые коэффициенты прямых затрат:
,
которые показывают затраты продукции -той отрасли на один рубль производства-той отрасли.
Считается, что зависят от технологии производства и поэтому постоянны на некотором интервале времени. Это предположение означает линейную зависимость материальных средств от валового выпуска:
.
Такую модель многоотраслевого баланса называют линейной:
.
Пусть
, ,,
где — матрица-столбец валового выпуска;— матрица прямых затрат (технологическаяили структурная матрица);- матрица конечного продукта.
В этих обозначениях уравнения межотраслевого баланса имеют вид:
(2)
Теперь основную задачу межотраслевого баланса можно сформулировать следующим образом:
Найти матрицу , которая обеспечит выпуск конечного продукта, заданного матрицей, при известной матрице прямых затрат.
Перепишем (2) в виде:
,
и если — невырождена, то найдем решение с помощью обратной матрицы:
(4)
Матрицу называютматрицей полных затрат. Каждый элементматрицыесть часть стоимости валового выпуска продукции-той отрасли, необходимая для выпуска продукта единичной стоимости-той отраслью. Для подтверждения этого вывода следует задать
, , … ,.
При подстановке в уравнение (3), получим:
, ,.
В соответствии с экономическим смыслом задачи все элементы матриц ,,должны быть неотрицательны.
Неотрицательная матрица называетсяпродуктивной, если для любой неотрицательной матрицысуществует неотрицательное решение.
Критерий продуктивности. Матрицапродуктивна, если для ее элементоввыполняется неравенство
,
причем существует хотя бы одно значение , для которого
.
Существуют и другие критерии продуктивности матриц.
Многомерные вектора и векторные пространства
Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства.
Арифметическим п-мерным вектором x называется упорядоченная совокупность п чисел, записываемых в виде x=(x1,x2,…,xn), где xi — компоненты векторах x.
Два п-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е.
x=у, если хi=yi , (i=1,2,...,n).
Для арифметических векторов вводятся две линейные операции:
Суммой двух векторов одинаковой размерности п называется вектор z=х+у компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. zi=xi+yi, (i = 1,2,...,n).
Произведением вектора х на действительное число называется вектор и = х, компоненты ui которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора х, т.е.
если и = х, то ui=xi,, (i=1,2,...,n)
Полагается, что линейные операции над векторами подчиняются следующим аксиомам:
1. х+у=у+x — коммутативное свойство суммы;
2. (x+у)+z=x+(у+z) — ассоциативное свойство суммы;
3. (x)=()х — ассоциативное свойство относительно числового множителя;
4. (x+у)= х+у — дистрибутивное свойство относительно суммы векторов;
5. ()x = x + x — дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;
6. Существует нулевой вектор 0=(0, 0, ... , 0) такой, что x+0=х для любого вектора х;
7. Для любого вектора х существует противоположный ему вектор (–x) такой, что x+(–x)=0;
8. 1•х = х для любого вектора х .
Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным выше аксиомам, называют линейным векторным пространством.