- •Линейная алгебра Матрицы и определители.
- •Операции над матрицами.
- •Определители и их свойства.
- •Свойства определителей.
- •Обратная матрица и алгоритм ее вычисления.
- •Понятие о ранге матрицы
- •Системы линейных уравнений. Решение и исследование системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
- •Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
- •Решение произвольных систем линейных уравнений
- •Решение однородных систем линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Модель многоотраслевой экономики (балансовый метод или модель Леонтьева)
- •Многомерные вектора и векторные пространства
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Переход к новому базису
- •Евклидово пространство
- •Линейные операторы
- •В силу линейности оператора Аполучаем
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Квадратичные формы
- •Модель международной торговли
Обратная матрица и алгоритм ее вычисления.
Матрица называетсяобратной по отношению к матрице , если выполняются равенства
Прямая и обратная матрицы, как и единичная матрица , являются квадратными.
Матрица называетсявырожденной или особой, если ее определитель . В противном случаематрицуназываютневырожденной или неособой.
Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы дает следующая теорема:
Теорема: Обратная матрица существует и является единственной тогда и только тогда, когда матрицане вырождена, т.е..
Необходимость: Пусть существует. Тогда, по определению,
.
По свойству определителя произведения двух матриц имеем
.
Следовательно, .
Достаточность: Пусть - не вырождена, т.е.. Введем так называемуюприсоединенную квадратную матрицу , составленную из алгебраических дополнений, элементов транспонированной матрицы. Элементами присоединенной матрицы будут
.
Умножим теперь на:
.
Таким образом,
или ,
поэтому можно принять за .
Алгоритм нахождения .
Вычислить определитель
Транспонировать матрицу (найти).
Вычислить алгебраические дополнения для всех элементов матрицы -и составить сопряженную матрицу.
Разделить матрицу на, т.е. найти
.
Выполнить проверку правильности вычислений
.
Понятие о ранге матрицы
Пусть дана произвольная матрица . Из элементов этой матрицы вычеркиванием строк и (или) столбцов можно получить множество квадратных матриц размерностьюот 1 до наименьшего из значенийи:
.
Определители этих квадратных матриц называют минорами матрицы соответствующего порядка.
Рангом матрицы называют наивысший порядок отличного от нуля минора, полученного из матрицывычеркиванием строк и (или) столбцов. Для обозначения ранга матрицы А используются символы
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:
Отбрасывание нулевых строк и (или) столбцов.
Умножение элементов строки или столбца на отличный от нуля скаляр.
Перестановка строк или столбцов.
Прибавление к строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов).
Транспонирование матрицы.
Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.
Элементарные преобразования позволяют привести матрицу (или) к ступенчатому виду:
,
при котором и, где.
Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , так как по крайней мере один минор-го порядка в левой части матрицы равен произведению ненулевых диагональных элементов и, следовательно, отличен от нуля.
Ранг суммы матриц подчиняется неравенствам:
Ранг произведения нане превосходит наименьшего из рангов матрици:
.
В частности, если и- квадратные матрицы и определитель, то
.
Отметим также, что
.
Пусть задана произвольная матрица :
.
Каждую строку этой матрицы можно представить матрицей-строкой:
.
Арифметические операции над матрицами-строками выполняются по общим для матриц правилам. Например
,
.
Используя введенные обозначения для строк матрицы , мы можем представить ее в виде матрицы-столбца
,
в которой элементами служат, в свою очередь, матрицы-строки .
С помощью введенных обозначений уточним понятие линейной зависимости (или независимости), а также линейной комбинации строк матрицы.
Говорят, что строка является линейной комбинацией строк, например,, если выполняется равенство
,
в котором - произвольные числа. В частности, нулевая строка всегда есть линейная комбинация всех остальных, если положить все.
Говорят, что строки линейно-зависимы, если существуют не равные нулю одновременно числатакие, что
.
Допустим, что . Тогда
или
,
где ,,, т.к.не присутствует в правой части.
Другими словами, если строки линейно-зависимы, то мы всегда можем представить хотя бы одну из них в виде линейной комбинации остальных. Если же указанные строки линейно-независимы, то их линейная комбинация может быть равна нулю только в том случае, когда всеi.
Теорема: Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно-независимых строк (или столбцов), через которые выражаются все ее остальные строки (столбцы).
Доказательство: Пусть . Тогда существует хотя бы один ненулевой минор-го порядка. Не нарушая общности, будем считать, что он расположен в левом верхнем углу:
.
Тогда строки - линейно-независимы. Проведем доказательство от противного. Пусть- линейная комбинация остальных строк, т.е.
.
Вычтем теперь из , затем,…, и, наконец,. В результате получими след, что противоречит условию теоремы.
Следовательно, - линейно-независимы. Эти строки, как и исходный минор-го порядка называютбазисными.
Покажем теперь. Что любая небазисная строка матрицы линейно-зависима, т.е. линейно выражается через базисные.
Рассмотрим минор -го порядка, полученный добавлением-той строки и-того столбца к минору порядка:
, и.
Разложим теперь этот минор по элементам последнего столбца:
, т.к. это базисный минор порядка . Поэтому мы можем разделить последнее равенство наи выразить из него элемент:
.
Отсюда видно, что для любого иэлементы-той строки линейно выражаются через соответствующие элементы строк, т.е. Она является их линейной комбинацией.