- •Линейная алгебра Матрицы и определители.
- •Операции над матрицами.
- •Определители и их свойства.
- •Свойства определителей.
- •Обратная матрица и алгоритм ее вычисления.
- •Понятие о ранге матрицы
- •Системы линейных уравнений. Решение и исследование системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
- •Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
- •Решение произвольных систем линейных уравнений
- •Решение однородных систем линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Модель многоотраслевой экономики (балансовый метод или модель Леонтьева)
- •Многомерные вектора и векторные пространства
- •Размерность и базис векторного пространства
- •Переход к новому базису
- •Евклидово пространство
- •Линейные операторы
- •В силу линейности оператора Аполучаем
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Квадратичные формы
- •Модель международной торговли
Системы линейных уравнений. Решение и исследование системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными — x, y, z :
,
ее главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, имеет вид
.
Если , то,,, где
, ,.
Пусть теперь , но есть. Тогда можно утверждать, что, например,
.
Если же и , то в системеесть лишь два независимых уравнения, а третье является их следствием. В силу этого система сводится к двум уравнениям с тремя неизвестными. Такая система неопределенна и имеет бесчисленное множество решений: одному можно придавать любое значение, а остальные неизвестные определяются из двух независимых – все решения лежат на прямой, т.е. на пересечении двух плоскостей. В этом случае.
Если же , то система несовместна и не имеет решений. В этом случае среди определителей,,есть хотя бы один, не равный нулю.
Случай, когда , т.е. равны нулю и все его миноры второго порядка, но есть элементы, не равные нулю, приводит к выражениям
и
.
Если же и ,, то весть лишь одно независимое уравнение. Система неопределенна, имеет бесчисленное множество решений (точки плоскости). В этом случае, и определители всех миноров второго порядка также равны нулю.
Если же , или, то система противоречива и не имеет решений – параллельные плоскости.
Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Однородной называют систему, в которой ,.
.
Система - неоднородна.
Если вне равен нулю, то система имеет единственное решение.
Если же , то среди его строк есть линейная зависимость и востается два или одно независимое уравнение.
Решение произвольных систем линейных уравнений
Пусть задана система линейных уравнений снеизвестными,:
, (1)
или в матричной форме
, (2)
где
, ,.
Решением системы (1) или (2) называется любой -компонентный вектор-столбец или матрица-столбец, обращающий в верное равенство системы (1) или (2).
Система называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение. В противном случае, система несовместна. Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают.
Теорема Кронекера–Капелли. Чтобы система вида (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы
,
где - расширенная матрица системы.
Пусть теперь в системе (2) , т.е. она совместна. Можно считать, не ограничивая общности, что не равный нулю минор порядкарасполагается в первыхстроках и столбцах матрицы.
Запишем «укороченную» систему для (1), отбросив последние уравнений, в виде:
(3)
Эта система эквивалентна исходной, т.к. отброшенные уравнения являются линейной комбинацией оставшихся уравнений.
Неизвестные называют базисными, а- свободными. Перенесем теперь свободные переменные в правую часть (3). В результате получим систему относительно базисных неизвестных:
.
Эта система для любого набора значений свободных неизвестных имеет единственное решение:
,
где ,,,— набор свободных неизвестных.
Соответствующее решение укороченной, а следовательно и исходной системы имеет вид:
. (4)
Формула (4) выражает произвольное решение системы (1) в виде функций от свободных неизвестных и называетсяобщим решением системы. Каждому конкретному набору соответствуетчастное решение.