4.3. Пример: оценка надежности системы

Проиллюстрируем суть метода Монте-Карло относительно простым примером. Пусть требуется оценить надежность системы (Рис. 4.3).

Система выполняет свою функцию, если работают цепочки блоков: 1,2,5,7; 1,3,5,7; 1,4,6,7. Каждый блок характеризуется временем безотказной работы i,Пусть заданы плотности распределения рi (i),Какие-то блоки могут отказать. Какова надежность системы в целом?

Рассмотрим случайную величину

 = min1,max[min(4,6),min[max(2,3),]],7, (4.2)

где - время безотказной работы системы.

2

5

1

3

7

4

6

Рис. 4.3. Блочная структура системы

В одном опыте разыгрывается значения всех i,в соответствии с рi(i),Используя полученные реализацииi,, по формуле (4.2) вычисляем реализацию. Один опыт дает одну реализацию (одно выборочное значение). Проводим М опытов (испытаний), получаем «статистический» материал (выборку). Берем среднее арифметическое времени безотказной работы системыср в качестве оценки надежности системы. При необходимости можно построить закон распределения вероятностей случайной величиныв виде соответствующей гистограммы.

Таким образом, испытания реальной системы заменены испытаниями математической модели. Каждое испытание сопровождается расчетом. Поэтому имитационное моделирование и называют численным экспериментом на ЭВМ с математической моделью (модель выступает как объект исследования). При реализации испытания возможны и логические операции. И расчетные и логические операции реализуются на ЭВМ с помощью соответствующих алгоритмов, которые в совокупности и составляют моделирующий алгоритм.

Моделирующий алгоритм обеспечивает построение траекторий смены состояний системы во времени, а воспроизведение случайных факторов, определяющих эти состояния, конструируется с использованием заданных законов случайных событий и величин и реализуется с помощью датчиков базовой случайной величины (БСВ).

Вопросы для самопроверки и задания для упражнения

1. Почему метод статистических испытаний применяют при имитационном моделировании?

2. для реализации какой значений какой переменной используется метод Монте-Карло в примере разд 4.2, 4.3?

3. В чем достоинства и недостатки применения метода Монте –Карло?

4. Как Вы думаете, эффективен ли метод статистических испытаний для разыгрывания маловероятных событий?

5. Построение моделирующего алгоритма

5.1. Моделирование на эвм процесса функционирования смо

В памяти ЭВМ отводится несколько ячеек для переменных, характеризующих состояние СМО в целом и отдельных её элементов. Содержимое этих ячеек изменяется в соответствии с алгоритмом моделирования так, как это происходит в реальной СМО при её функционировании. Отдельная ячейка содержит текущее системное время, указывающее к какому моменту времени относится состояние СМО, записанных в памяти ЭВМ. Содержимое указанных ячеек памяти меняется путем циклического повторения основной части алгоритма моделирования, называемой шагом (циклом) имитации. За один шаг осуществляется переход к следующему значению системного времени, т.е. продвижение по времени, или, как иногда говорят, продвижение стрелок системных часов. Попутно изменяется значение переменных, характеризующих состояние СМО. Таким образом, шаг за шагом, имитируется смена состояний СМО, т.е. моделируется процесс функционирования СМО.

Рассмотрим принципы продвижения по времени.

Принцип t – увеличивать системное время за один шаг на постоянную величину t. При использовании этого принципа возникает проблема выбора длины интервала t. Как правило, алгоритм шага рассчитан на имитацию одного события: поступления заявки, завершения фазы обслуживания и т.п. Событие - это любое изменение в системе. Все изменения, связанные друг с другом причинно-следственными связями и происходящие в один и тот же момент времени, обычно рассматриваются как одно событие. Допустим, поступила заявка. При этом увеличилось число заявок в системе. Если эта заявка сразу поступила на обслуживание, то изменилось состояние прибора и количество занятых приборов. Все это - одно событие: поступление заявки.

Может случится, что за время t в СМО произойдет несколько событий (в разное время). В таком случае алгоритм, рассчитанный на имитацию одного события за один шаг, неправильно отразит изменения, произошедшие в системе. Чтобы избежать этого есть два пути.

Первый путь - разработка алгоритма шага, рассчитанного на имитацию нескольких событий. Этот путь приводит к значительному усложнению алгоритма.

Другой путь - использование столь малого интервала t , что за это время практически не происходит более одного события. Этот путь приводит к резкому увеличению затрат машинного времени, т.к. с уменьшением t соответственно возрастает число шагов, которое надо выполнить, чтобы имитировать процесс на заданном отрезке времени. При малом t большинство шагов окажутся пустыми, так как события будут происходить лишь на некоторых интервалах t , а на прочих интервалах состояния СМО будет сохраняться таким же, как на соседних интервалах.

Принцип особых моментов. Последнее замечание наводит на мысль, что целесообразно проскакивать за один шаг весь промежуток времени между соседними событиями и тем самым избегать пустых шагов. Это - принцип особых моментов. Особым моментом принято называть такой момент времени, когда в системе происходит какое-либо изменение состояния, иначе говоря - происходит событие. За один шаг осуществляется продвижение по времени на случайный отрезок: от одного особого момента до другого.

Рис.5.1. демонстрирует способы представления и управления временем в обоих случаях.

По оси x времени отложена одна и та же последовательность событий e_i . Как видно, два события e₄ и e₅ появляются одновременно. Стрелки указывают на точки, в которых происходит приращение времени на один такт, и моменты наступления очередных событий в обеих моделях.

Рис. 5.1,а. Течение модельного времени в модели с фиксированным