4.2. Иллюстративный пример: моделирование посадки самолетов.

Цель: определение необходимого количества посадочных полос.

Самолеты пребывают в зону и подают заявку на посадку в случайные моменты времени (рис. 4.1).

–интервал между соседними заявками;

–интервал обслуживания отдельной заявки.

Рис. 4.1. Имитация процесса посадки самолетов

–интервал между соседними заявками задается .

Если в момент подачи заявки полоса свободна – начинается процесс посадки, который длится фиксированное время .В течение этого времени полоса занята.

Если в момент поступления очередной заявки полоса занята – такая заявка получает отказ. Это нежелательное событие. Если часто отказ – необходима дополнительная полоса. Непосредственная цль моделирования – нахождение (оценивание) вероятности отказа Р.

Процесс смены состояний – дискретный. Время – непрерывное. Особые моменты – моменты поступления заявок и моменты освобождения полосы.

Имитация процесса на ЭВМ: воспроизведение шаг за шагом численных значений особых моментов и значений переменных в эти моменты.

В памяти ЭВМ достаточно отвести одну или несколько ячеек для каждой из характеристик имитируемого процесса и обновлять содержимое этих ячеек, имитируя изменение характеристик во времени.

Перечислим переменные, которые должны хранится и обновляться в памяти ЭВМ для данного примера:

tт – текущий особый момент;

tз – предстоящий момент поступления очередной заявки (ближайший из таких моменов после tт);

tосв – предстоящий момент освобождения полосы;

Z – состояние полося в особый момент (непосредственно перед tт);

n – количество заявок, поступивших к текущему моменту;

к – количество отказов, наблюдавшихся за то же время.

Счетчики n и к накапливают статистики (выборочные данные), по которым определяется оценка =.

Правило остановки процесса имитации: когда значение n достигнет значения (надо задать).

Исходные данные: ,(F(x) – специальная подпрограмма). Помимо указанных переменных используются:

-– ,,параметры F(x) – постоянные;

–– Вспомогательные переменные: ,Е – (event – событие) содержит тип события: 1 – поступление заявки, 0 – освобождение полосы; Z L(Last – прошлое) – представляет предыдущее значение Z.

Как следует из приведенного примера, имитация, как процесс, заключается в организации продвижения системного времени и отображения в нем траектории функционирования оригинала. В данном примере – отображении процессов генерации заявок и их обслуживании. Функционирование отображается сменой состояний оригинала. Ибо смена состояний дает информацию, по которой можно вычислить интересующие исследователя (проектировщика) оценки характеристик оригинала.

Если система (оригинал) стохастическая, то пребывание системы в том или ином состоянии (вектор) и наступление состояний носят вероятностный характер.

Таким образом, имитационное моделирование включает два важнейших аспекта: построение моделирующего алгоритма и разыгрывание состояний системы. Моделирующий алгоритм обеспечивает продвижение системного времени и отображение состояний системы, а реализация случайных факторов и объектов, присущих системе, осуществляется методом статистических испытаний – методом Монте-Карло.

4.3. Концепция статистического моделирования

В основе статистического моделирования лежит процедура, применяемая для моделирования случайных величин и функций и носящая название метода статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Общая схема метода Монте-Карло может быть записана в виде

(4.1)

Результат ищется как математическое ожидание некоторой случайной величины Y, которая чаще всего является неслучайной функцией случайной величины X, имеющей распределение р(х). Случайная величина Х имеет распределение р(х) и запись Х р(х) означает, для непрерывной случайной величины, что для непрерывной случайной величины плотность вероятности равна р(х); для дискретной случайной величины функцию р(х) надо понимать как функцию вероятности. Для случайной дискретной величины интеграл (4.1) заменяется суммойу(х) р(х), в которой суммирование осуществляется по всем возможным значениям Х. Функция у(х) может иметь несколько аргументов, т.е. зависеть от нескольких случайных величин. В таком случае запись (4.1) остается в силе, только интеграл надо считать многомерным, Х рассматривать как вектор, а р(х) – как многомерную плотность (или функцию) вероятности. Приближенная оценка неизвестного математического ожидания, совпадающая с искомым результатом, находится как среднее арифметическое результатов независимых опытов. Это отражено в правой части (4.1). По закону больших чисел среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию.

В каждом опыте разыгрывается реализация х случайной величины Х (в i- м опыте реализация ) в соответствии с распределением р(х) и вычисляется значение функции в виде у (). Индекс i подчеркивает, что для каждой (i-й) реализации процесса аргументы, составляющие вектор Х, имеют свои случайные значения. Вычисленное очередное значение у () добавляется к накапливаемой суммеу (). На этом заканчивается очередной опыт. После того как проведено М опытов, вычисляется итоговая оценка в виде правой части выражения (4.1). Опыты повторяются до тех пор, пока дисперсия оценкине снизится до требуемой величины, зависящей от допустимой погрешности и коэффициента доверия. Структурная схема эксперимента по имитационному моделированию представлена на рис. 4.2.