- •Предисловие
- •Принятые обозначения
- •Введение
- •Лекция № 1 образование проекций
- •1 Геометрические образы
- •2 Виды проецирования
- •3 Ортогональное проецирование точки на две взаимно перпендикулярные плоскости
- •4 Ортогональное проецирование точки на три взаимно перпендикулярные плоскости
- •3 Принадлежность точки прямой
- •4 Следы прямой
- •5 Деление отрезка прямой в данном соотношении
- •6 Определение длины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций
- •7 Взаимное положение прямых
- •Задание плоскости следами
- •2 Положение плоскости относительно плоскостей проекций
- •3 Принадлежность точки и прямой плоскости
- •4 Главные (особые) линии плоскости
- •Лекция № 4 метрические и позиционные задачи
- •Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
- •Лекция № 5 способы преобразования комплексного чертежа
- •1 Общие сведения
- •2 Способ замены плоскостей проекций
- •3 Способ вращения
- •Лекция № 6 поверхность
- •1 Основные понятия и термины
- •2 Классификация поверхностей
- •Поверхность вращения
- •Поверхности вращения
- •3 Построение точек и линий на поверхности
- •Сечение конуса
- •С ечение сферы
- •Лекция № 6 аксонометрические проекции
- •1 Общие сведения
- •2 Показатели искажения
- •3 Виды аксонометрических проекций
- •Прямоугольная изометрия
- •4 Построение окружности в аксонометрии
- •Лекция № 7 взаимное пересечение геометрических образов
- •1 Общие сведения
- •2 Построение линии пересечения двух многогранников
- •3 Построение линии пересечения многогранника и кривой поверхности
- •4 Построение линии пересечения кривых поверхностей. Метод секущих плоскостей
- •Метод секущих плоскостей
- •5 Метод секущих сфер
- •6 Особые случаи пересечения поверхностей
- •2 Построение разверток многогранников
- •3 Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей
Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
Прямая может располагаться относительно плоскости параллельно, пересекать ее и в частном случае пересекать под прямым углом.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости.
Р ассмотрим пример (рис. 43, а). Пусть дана плоскость Р, заданная треугольником АВС и фронтальная проекция прямой l, проходящая через произвольную точку К. Требуется через точку К провести горизонтальную проекцию прямой l параллельную плоскости Р.
Для того, чтобы через точку К провести прямую параллельную плоскости Р(АВС), необходимо построить прямую проходящую через точку К и параллельную любой прямой, принадлежащей плоскости Р (рис. 43, б). Проведём прямую m, принадлежащую плоскости Р(АВС) и параллельную прямой l. На эпюре уже задана фронтальная проекция l2 прямой l, поэтому проведем m2 || l2, найдем проекции точек 12 и 22 на сторонах треугольника В2С2 и А2С2, затем спроецируем их на горизонтальную плоскость и проведем горизонтальную проекцию m1 прямой m. Через К1 проведем l1 || m1. Прямая l || Р(АВС), т. к. она параллельна прямой m, принадлежащей плоскости Р.
Рис. 43
П рямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости (рис. 44, а).
а) б)
Рис. 44
На эпюре (рис. 44, б) для удобства построения в качестве пересекающихся прямых следует брать горизонталь и фронталь (или горизонтальный и фронтальный следы плоскости), т.к. прямой угол между отрезком прямой и горизонталью проецируется в натуральную величину на П1 (то же между горизонтальным следом и отрезком прямой), а прямой угол между отрезком прямой и фронталью проецируется в натуральную величину на П2 (то же между фронтальным следом и отрезком прямой).
Рассмотрим пример (рис. 45). Требуется провести через точку А перпендикуляр к плоскости Р, заданной треугольником АВС.
И звестно, что фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная – к горизонтальной проекции горизонтали плоскости. На чертеже через А2 проводим фронтальную проекцию l2 перпендикуляра l перпендикулярно к фронтальной проекции f2 фронтали, а горизонтальную его проекцию l1 – перпендикулярно к проекции h1 горизонтали через А1. Фронталь и горизонталь в плоскости строится, как это рассмотрено на рис.45.
Плоскости могут располагаться параллельно, пересекаться и в частном случае пересекаться под прямым углом.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Р ассмотрим пример. Пусть дана плоскость Р, заданная треугольником АВС и произвольная точка К. Требуется через точку К провести плоскость Г параллельную Р (АВС). Для того чтобы через точку К провести плоскость параллельную плоскости Р (АВС), достаточно построить две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым плоскости Р, так чтобы точка К принадлежала этим прямым. Например, проведём прямую m || AB, на эпюре m1 || А1B1 и m2 || А2B2 и прямую l || BC, на эпюре l1 || B1C1 и l2 || B2C2. Две пересекающиеся прямые m и l определяют плоскость Г. Плоскость Г || Р, так как две пересекающиеся прямые m и l, принадлежащие плоскости Г, параллельны двум пересекающимся прямым АВ и ВС, принадлежащим плоскости Р.
На рис. 46 показано построение параллельных плоскостей, заданных следами. Как известно, горизонтали параллельных плоскостей параллельны между собой, параллельны между собой и фронтали. Также одноименные следы параллельных плоскостей соответственно параллельны между собой. Необходимо через точку К провести плоскость Г || Р (рис. 46, а). Через точку К проводят горизонталь искомой плоскости – h1 || PП1, h2 || х. Затем находят фронтальный след горизонтали F2 и через него параллельно фронтальному следу плоскости PП2 проводят фронтальный след искомой плоскости ГП2, находят точку схода следов ГХ на оси х и проводят след ГП1 параллельно PП1 (рис. 46, б).
а) б)
Рис. 46
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из плоскостей содержит прямую перпендикулярную второй плоскости.
Е сли прямая l перпендикулярна плоскости P, то любая плоскость, проведенная через эту прямую, будет также перпендикулярна плоскости P. Поэтому через прямую l можно провести бесконечное множество плоскостей, что приводит к вариативности решения задач (рис. 47).
Рассмотрим два случая построения прямой перпендикулярной плоскости (на рис. 48, а – б плоскость задана следами, на рис. 48, в – треугольником). Исходя из выше рассмотренных построений (рис. 44), сначала необходимо в плоскости построить горизонталь и фронталь. Затем провести прямую l, перпендикулярную заданным плоскостям. На рис. 1, б l P, l1 PП1, l1 h1 и l2 PП2, l2 f2. На рис. 48, в прямая l проведена перпендикулярно плоскости треугольника АВС через точку А (l АВС, l1 h1 и l2 f2). Условие перпендикулярности выполнено, и теперь необходимо задать плоскость любым из известных способов. На рис. 48 плоскость задана пересекающимися прямыми l ∩ m = К. Точка К на прямой l взята произвольно. Одна из прямых плоскости – перпендикуляр l, поэтому вторую прямую m можно провести под любым углом.
Так как через току К можно провести множество прямых, то решение задачи может иметь множество вариантов (рис. 48, а).
а ) б) в)
Рис. 48
Двумя основными позиционными задачами, рассматриваемыми в этом разделе, являются:
задача на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения;
задача на пересечение двух плоскостей общего положения.
Прежде чем решать эти основные позиционные задачи рассмотрим частные случаи решения задач, когда геометрические образы занимают частное положение.
Рассмотрим построение проекций точки К – точки пересечения прямой l общего положения с фронтально проецирующей плоскостью Р. На рис.49 плоскость задана следами (а), параллельными прямыми (б), треугольником (в).
Фронтальная проекция фронтально проецирующей плоскости вырождается в прямую, а на рис. 49, а совпадет с фронтальным следом плоскости. Поэтому проекция К2 точки пересечения должна лежать на этой прямой или на фронтальном следе плоскости. Точка принадлежит прямой l и плоскости Р. Поэтому проецируем точку К на горизонтальную проекцию l1 прямой l.
Дополним эпюры изображением видимых и невидимых участков прямой l , плоскость Р считаем непрозрачной. Часть прямой справа до точки К располагается выше плоскости Р, поэтому на П1 проекция этой части прямой видима до точки К1, другая часть прямой – невидима. Проекция прямой l на плоскости П2 будет полностью видимой, так как плоскость вырождается в прямую и не перекрывает проекцию l2.
a
а2
b2
Рис. 49
Далее найдем точку пересечения прямой l с горизонтальной плоскостью P, заданной ее фронтальным следом РП2.
В данном случае (рис. 50) плоскость Р параллельна П1 и, следовательно перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций. Для плоскости Р в системе дан только фронтальный след РП2 параллельный оси проекций х. Очевидно, что фронтальная проекция искомой точки пересечения должна лежать как на следе РП2, так и на фронтальной проекции прямой l (К2 l2, К2 РП2 К2 = l2 ∩ РП2). По проекции К2 находим К1 на l1.
Так как правая часть прямой до точки К находится под плоскостью Р, то на чертеже соответствующая часть горизонтальной проекции изображена штриховой линией.
На рис.51 представлены случаи построения точки пересечения фронтально проецирующей прямой с плоскостью общего положения, заданной следами (рис. 51, а), треугольником (рис. 51, б), прямой и точкой вне прямой (рис. 51, в). Так как прямая l на П2 проецируется в точку, то проекция прямой совпадет с проекцией точки пересечения (К2 l2). На первых двух эпюрах горизонтальная проекция К1 найдена через горизонталь h, а на третьем через прямую общего положения n.
а) б) в)
Рис. 51
Мы рассмотрели некоторые частные случаи пересечения прямой с плоскостью. Во всех этих случаях на эпюре одна из проекций точки пресечения была определена.
Теперь рассмотрим частные случаи построения линии пересечения двух плоскостей. Построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек, общих для обеих заданных плоскостей, или одной такой точки при известном направлении искомой линии.
На рис.52 и 53 для построения линии пересечения плоскостей можно использовать точку N пересечения следов PП1 и ГП1 и точку N' пересечения следов PП2 и ГП2. Прямая NN', проходящая через эти точки, является искомой линией пересечения.
На рис.53 проекция линии пересечения NN' совпадает со следом PП1, так как плоскость Р является горизонтально проецирующей.
В случае на рис. 54 фронтальные следы плоскостей параллельны. Это значит, что искомая прямая параллельна плоскости П2 и для плоскостей P и Г является фронталью. Чтобы провести эту фронталь, достаточно построить одну принадлежащую ей точку. Используем точку К пересечения следов PП1 и ГП1. Построив проекции К1 и К2, проводим l1 параллельно оси х, а l2 – параллельно следам PП2 и ГП2.
Гх
Рис. 52 Рис. 53 Рис. 54
На рис. 55 представлены случаи построения линии пересечения горизонтальной плоскости с плоскостью общего положения, заданной треугольником (рис. 55, а) и следами (рис. 55, б). Так как Р || П1, то линия пересечения является горизонталью. Чтобы построить эту горизонталь, достаточно построить две точки N и N', общие для обеих заданных плоскостей (рис. 55, а), или одну точку при известном направлении искомой линии (рис. 55, б).
На эпюре (рис. 56) одна из плоскостей фронтально проецирующая, а другая общего положения, заданная треугольником. Фронтальная проекция N2N'2 линии пересечения NN' совпадет со следом ГП2, так как Г П2.
а) б)
Рис. 55 Рис. 56
Далее рассмотрим общие случаи решения основных позиционных задач, когда геометрические образы занимают общее положение.
В общем случае для построения точки К пересечения прямой l с плоскостью P необходимо выполнить следующие построения (рис. 57):
Через данную прямую l провести вспомогательную плоскость частного положения Г (l Г);
Построить линию NN' пересечения данной плоскости P и вспомогательной Г (Р ∩ Г = NN');
Определить положение точки К пересечения прямых – данной l и построенной NN' (l ∩ NN' = К);
Определить видимость прямой l, используя конкурирующие точки.
Далее представлены случаи решения задачи на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения: плоскость задана треугольником (рис. 58); плоскость задана следами (рис. 59).
Применяя выше приведенный алгоритм построения точки пересечения прямой с плоскостью, проводим через прямую l фронтально-проецирующую плоскость Г и строим линию NN' пересечения обеих плоскостей – заданной и проведенной через l (рис. 58, а). Искомая точка К пересечения прямой l с плоскостью треугольника АВС находится в точке пересечения NN' с l.
Для определения участков прямой l, которые будут закрыты треугольником, следует воспользоваться анализом положения точек на скрещивающихся прямых (рис. 58, б). Например, точки 1 и N' находятся на скрещивающихся прямых l и ВС. Фронтальные проекции этих точек совпадают (точки 1 и N' – фронтально конкурирующие точки), т.е. точки 1 и N' одинаково удалены от П1. Но расстояния их от П2 различны, т.е. точка 1 находится дальше от П2, чем точка N'. Поэтому по отношению к П2 точка 1 закрывает точку N'. Следовательно, прямая l проходит перед треугольником АВС до точки К. Начиная от точки К влево прямая l закрывается треугольником, и поэтому этот участок показан штриховой линией.
Для выявления невидимого участка на горизонтальной проекции прямой l рассмотрим точки 2 и 3, лежащие соответственно на прямых l и АВ. Эти точки являются горизонтально конкурирующими – их проекции совпадают на П1. Если смотреть на эти точки сверху, то сначала видна точка 2. Следовательно, прямая l в этом месте закрыта треугольником АВС, и участок ее проекции от точки К до точки 3 должен быть показан штриховой линией. В данном случае точка К оказалась внутри контура треугольника АВС. При другом взаимном положении пересекающихся геометрических образов возможен случай, когда точка К окажется вне треугольника. Это означает, что прямая l пересекает плоскость, заданную треугольником АВС, вне контура этого треугольника.
На рис. 59 для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью через прямую l проводят горизонтально проецирующую плоскость Г (след ГП1 совпадает с l1) и строят линию пересечения плоскостей Г и P, использ уя точки N и N' пересечения их одноимённых следов. Искомая точка К находится в точке пересечения NN' с l (l2 ∩ N2N2' = К2). Видимость прямой определяют на основании анализа положения точек (используя конкурирующие точки). Например, взяв горизонтально конкурирующие точки 1 (1 l) и N (N PП1), видно, что точка 1 располагается выше относительно П1, чем точка N. Следовательно прямая l слева до точки К видима. За точкой К прямая показана штриховой линией – она невидима. Аналогично определяется видимость на фронтальной проекции.
Далее рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей общего положения. Как известно, построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек – общих для обеих заданных плоскостей. В данном случае обе точки можно найти, выполнив следующие построения (рис. 60):
Ввести две вспомогательные плоскости (посредники) частного положения Р и Р';
Построить линии a, а' и b, b' пересечения данных плоскостей (Г и ) и вспомогательных Р и Р':
Р ∩ Г = а, Р ∩ = b;
Р' ∩ Г = а', Р' ∩ = b';
Определить положение точек N и N' пересечения прямых a и b и прямых a' и b' соответственно:
a ∩ b = N; a' ∩ b' = N';
Соединить точки N и N', которые являются общими для обеих заданных плоскостей Г и . NN' – искомая линия пересечения плоскостей;
Определить видимость плоскостей Г и .
На рис. 61 найдена линия пересечения плоскостей, одна из которых задана параллельными прямыми а и b, а другая пересекающимися c и d.
Для определения общих точек данных плоскостей введены две вспомогательные горизонтальные плоскости уровня Р и Р' и построены линии пересечения этих плоскостей с заданными Г (a || b) и (с ∩ d ). Через точки N и N' пересечения этих линий проходит искомая прямая. Прямые 1-2 и 3-4, пересекаясь, дают точку N (N1, N2), а прямые 5-6 и 7-8 – точку N' (N'1, N'2). Прямая NN' (N1N1', N2N2') – искомая линия пересечения плоскостей.
Рис. 60 Рис. 61
Р ассмотрим построение линии пересечения плоскостей P и Г, с использованием профильной плоскости проекций и без нее. Заданные плоскости являются профильно-проецирующими, а значит линия их пересечения n параллельна оси х и тоже является профильно-проецирующей прямой (рис. 62). Чтобы найти эту прямую, надо построить одну принадлежащую ей точку. В качестве вспомогательной плоскости можно использовать профильную плоскость проекций (рис. 63, а). Линия n проходит через точку N пересечения следов PП3 и ГП3.
Если не применять профильную плоскость проекций, то можно ввести вспомогательную плоскость Σ П1 (рис. 63, б) и построить линии пересечения ее с плоскостями P (1- 2) и Г (3- 4). Эти линии, пересекаясь дают искомую точку N (N1, N2), общую для плоскостей P и Г. Через N1 и N2 проводим проекции прямой n1 и n2 параллельно оси х.
а) б)
Рис. 63
В качестве вспомогательных плоскостей для построения линий пересечения двух плоскостей можно использовать плоскости частного положения, которые проводят через прямые, принадлежащие плоскости (рис. 64).
Н а рис. 64 обе точки для обеих плоскостей найдены как точки пересечения (N и N') сторон треугольника АВ и ВС с плоскостью, заданной треугольником DEF. Через прямую АВ проводят фронтально проецирующую плоскость Р, задав её следом PП2. Она пересекает плоскость треугольника DEF по прямой 1-2 (1121, 12-22), которая пересекается со стороной АВ в точке N (N1, N2). Фронтально проецирующая плоскость Р', проведенная через прямую ВС, задана следом Р'П2. Эта плоскость пересекает плоскость треугольника DEF по линии 3-4 (3141,32-42), которая в пересечении со стороной ВС дает точку N' (N'1, N'2). NN' – искомая линия пересечения плоскостей.
Для определения видимости плоскостей при взаимном их пересечении взяты горизонтально проецирующие точки 5 и 6. Точка 5 принадлежит прямой АВ, а 6 – прямой DF. Анализ положения этих точек показывает, что на П1 точка 5 закрывает точку 6, а это значит, что прямая АВ в этом месте проходит над DF, т.е. треугольник АВС виден до прямой NN'. Аналогично определяется видимость на фронтальной проекции.