3 Ортогональное проецирование точки на две взаимно перпендикулярные плоскости

В соответствии с методом, предложенным Г. Монжем, рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4).

Одну из плоскостей проекций П₁ располагают горизонтально и называют горизонтальной, а вторую П₂ – вертикально и называют фронтальной. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти (квадранты). Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти.

Точку проецируют одновременно на 2 взаимно-перпендикулярные плоскости проекций. При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x и пересекающих эту ось в одной и той же точке А_х.

П₁ – горизонтальная плоскость проекций;

П₂ – фронтальная плоскость проекций;

П₂  П₁ ;

А – точка в пространстве;

О – начало координат;

А₁ – горизонтальная проекция точки А;

А₂ – фронтальная проекция точки А;

x, y – оси координат;

АA₁ ∩ П₁ = А₁ ;

АА₂ ∩ П₂ = А₂;

I, II, III, IV – четверти;

А₂А_X = Z_A – расстояние

от точки до плоскости

П₁(координата Z точки А);

А₁А_X = у_A – расстояние до плоскости П₂

(координата у точки А);

ОА_X = х_A – координата х точки А;

Рис. 4

Две проекции точки определяют положение точки в пространстве относительно заданной системы плоскостей.

При решении задач пользоваться пространственным чертежом неудобно, поэтому от пространственного чертежа переходят к плоскому, который называют комплексным чертежом или эпюром (от франц. еpure – чертеж). Эпюр часто называют эпюром Монжа.

Плоскость П₂ остается неподвижной, а плоскость П₁ вращается вокруг оси х на 90° до совмещения с плоскостью П₂.

По эпюру можно определить расстояние от точки до плоскости (рис. 5).

Прямая А₁ А₂ называется вертикальной линией связи и располагается всегда перпендикулярно оси х.

4 Ортогональное проецирование точки на три взаимно перпендикулярные плоскости

При решении задач бывает недостаточно двух проекций. Поэтому вводят третью плоскость перпендикулярно плоскостям П₁ и П₂. Ее называют профильной плоскостью (П₃).

Три плоскости делят пространство на 8 частей – октантов (рис. 6). Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Чтобы получить эпюр (рис. 7) любого геометрического образа плоскости П₁ и П₃ вращают, как показано на рис. 6.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y и z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке О.

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П₁ и П₃ вращают до совмещения с плоскостью П₂ (рис. 8). При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают.

Для нахождения профильной проекции точки поступают следующим образом: из фронтальной проекции А₂ точки А проводят прямую перпендикулярно оси Z и на этой прямой от оси z откладывают отрезок, равный координате у точки А (рис. 9).

Рис.8 Рис. 9

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x, y и z (абсцисса, ордината и аппликата):

а

?

бсцисса х = ………..= …..…..= ….….. = ……….. – расстояние от точки до плоскости П_3;

ордината у = ……….= ………= …...... = ………… – расстояние от точки до плоскости П_2;

аппликата z = …….. = ………= ……..= ………… – расстояние от точки до плоскости П₁

А₁А₂ – вертикальная линия связи, перпендикулярная оси х;

А₂ А₃ – горизонтальная линия связи, перпендикулярная оси z.

А

?

₁ (….,….) Положение проекции каждой точки

А₂ (….,….) определяется двумя координатами

А₃ (….,….)

Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частное положение относительно плоскостей проекций. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимает общее положение.

Лекция № 2

ПРЯМАЯ

1. Прямая. 2. Положение прямой относительно плоскостей проекций. 3. Принадлежность точки прямой. 4. Следы прямой. 5. Деление отрезка прямой в данном соотношении. 6. Определение длины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций. 7. Взаимное положение прямых.

1 ПРЯМАЯ

Проекцией прямой в общем случае является прямая, за исключением случая, когда прямая перпендикулярна плоскости (рис. 10).

Чтобы построить эпюр прямой определяют координаты x, y, z двух точек прямой и переносят эти величины на чертеж.

2 ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИИ

В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

П роекция прямой общего положения меньше самой прямой.

k₁  k

k₂  k

k₃  k

Различают восходящую прямую – это прямая, которая по мере удаления от наблюдателя повышается (рис. 11) и нисходящую, которая понижается.

Рис. 11. Прямая общего положения

h  П₁; Z = const

h ₂  0x признак

h₃  0у горизонтали

h₁ = h – свойство

горизонтали

 – угол наклона прямой к

плоскости П₁

 – угол наклона прямой к

плоскости П₂

 – угол наклона прямой к

плоскости П₃



?

= 0

 = (h₁ ^ П₂) обозначить



Рис. 12. Горизонталь

= (h₁ ^ П₃) на чертеже

f  П₂; у = const

f ₁  0x признак

f₃  0z фронтали

f₂ = f – свойство фронтали



?

= 0

 = (f₂ ^ П₁) обозначить

 = (f₂ ^ П₃) на чертеже

Рис. 13. Фронталь

р  П₃; х = const

р ₁  0у признак

р₂  0z профильной прямой

р₃ = р – свойство профильной

прямой

 = 0



?

= (р₃ ^ П₁) обозначить

 = (р₃ ^ П₂) на чертеже

Рис. 14. Профильная прямая

а  П₁

а ₂  0х признак

а₃  0у



?

=

 =

 =

b  П₂

b ₁  0х признак

b₃  0z



?

=

 =

 =

c  П₃

c ₁  0у признак

с₂  0z



?

=

 =

 =