3 Принадлежность точки прямой

Т еорема: Если в пространстве точка принадлежит прямой, то на эпюре проекции этой точки находятся на одноименных проекциях прямой (рис. 18):

М  АВ,

Е  АВ.

Справедлива обратная теорема:

М₁  A₁B₁;

М₂ A₂B₂  М АВ.

Рис. 18

4 Следы прямой

С

?

лед – это точка пересеченная прямой с плоскостью проекций (рис. 19). Так как след принадлежит одной из плоскостей проекций, то его одна координата должна быть равна нулю.

о бозначить на H = k ∩ П₁ – горизонтальный след

чертеже (рис. 19) F = k ∩ П₂ – фронтальный след

?

Р = k ∩ П₃ – профильный след

Правило построения следов:

Для построения горизонтального следа прямой ….. необходимо фронтальную проекцию ….. прямой ….. продолжить до пересечения с осью Х, затем из точки пересечения с осью Х восстановить к ней перпендикуляр, и продолжить горизонтальную ….. проекцию прямой …… до пересечения с этим перпендикуляром.

Фронтальный след строиться аналогично.

5 Деление отрезка прямой в данном соотношении

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Поэтому, чтобы некоторый отрезок разделить на эпюре в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции.

Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ: А₂К₂ : К₂В₂ ¹А₁К₁ : К₁В₁ Þ КÏАВ

Пример: Чтобы разделить отрезок АВ в отношении 2 : 3 из точки А₁ проведем произвольный отрезок А₁В⁰₁ разделенный на пять равных частей (рис. 20): A₁K⁰₁ = 2 частям, K⁰₁B⁰₁ = 3 частям, А₁К⁰₁ : К⁰₁В⁰₁=2 : 3

Соединить точку В⁰₁ с точкой В₁ и проведя из точки К⁰₁ прямую параллельную (В₁В⁰₁) получим проекцию точки К₁. Согласно теореме Фалеса (Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне отложатся равные между собой отрезки) А₁К₁ : К₁В₁ = = 2 : 3, далее находим К₂. Таким образом проекции точки К делят одноименные проекции отрезка АВ в данном отношении следовательно и точка К делит отрезок АВ в отношении 2 : 3.

6 Определение длины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС, где AС = A₁B₁, СB = DZ , угол a - угол наклона отрезка к плоскости П₁. Для этого на эпюре (рис. 21) из точки B₁ под углом 90^ проводим отрезок B₁B₁⁰ = DZ, полученный в результате построений отрезок A₁B₁⁰ и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B₁A₁B₁⁰ = α. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника. Однако все построения можно объяснить, как вращение треугольника АВС вокруг стороны AС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П₁, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Для определения b - угла наклона отрезка к плоскости П₂ построения аналогичные (рис. 22). Только в треугольнике АВС сторона ВС = DU и треугольник совмещается с плоскостью П₂.

? Обозначить проекции прямой и

определить угол α.

Обозначить проекции прямой и

определить угол α.

Рис. 21

?

Обозначить проекции прямой и

определить угол β.

Рис. 22