5 Метод секущих сфер

Этот метод основан на свойстве сферы пересекаться с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы по окружностям (рис. 82, а). Поверхности вращения, имеющие общую ось, называются соосными. Причем, если оси поверхностей вращения параллельны плоскости проекций (например П₂), то эти окружности проецируются в отрезки прямых линий, перпендикулярные осям поверхностей вращения (рис. 82, б).

Для построения линии пересечения могут быть использованы концентрические (с постоянным центром) и эксцентрические (с переменным центром) сферы.

У словия применения метода концентрических сфер:

1. Обе пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения.

2. Оси поверхностей вращения должны пересекаться, а точка их пересечения является центром для построения сфер.

3 . Плоскость, образованная, осями пересекающихся поверхностей (плоскость симметрии) должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Рассмотрим применение вспомогательных секущих сфер на примере построения линии пересечения цилиндра и конуса (рис. 83).

В первую очередь определяем опорные точки – точки пересечения очерковых образующих А и В при помощи вспомогательной фронтальной плоскости Р. Эти же точки являются границей видимости на фронтальной плоскости проекций.

О

?

пределяем радиус максимальной и минимальной сферы.

R_max = ______ – равен расстоянию от центра сферы до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих (_____ > _____).

Д

?

ля определения радиуса минимальной сферы необходимо из центра сферы О₂ опустить перпендикуляры на очерковые образующие заданных поверхностей.

R_min = _______– больший из этих перпендикуляров (_____ > ______).

Сфера с R_min коснется поверхности конуса по окружности 1 – 1, а цилиндр пересечет по окружности 2 – 2. Точки К и К будут точками искомой линии пересечения.

Для построения других точек линии пересечения проводим несколько сфер с центром в точке О₂ и радиусами R_min ≥ R > R_max. Для построения горизонтальной проекции точек линии пересечения воспользуемся параллелями конуса, так как они не искажаются на горизонтальной плоскости проекций.

6 Особые случаи пересечения поверхностей

При взаимном пересечении поверхностей второго порядка линиями пересечения в общем случае являются пространственные кривые линии. В некоторых случаях линиями их пересечения могут быть кривые второго порядка (плоские кривые). Это можно увидеть на поверхностях, удовлетворяющих теореме Монжа: Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

Н а рис. 84 изображены два цилиндра вращения одинакового диаметра с пересекающимися осями. В эти цилиндры можно вписать сферу. Поэтому, согласно приведенной теореме, их поверхности пересекаются по двум плоским кривым (эллипсам). При данном расположении цилиндров фронтальные проекции эллипсов спроецируются в прямолинейные отрезки, а горизонтальные совпадут с очерком горизонтальной проекции вертикального цилиндра – с окружностью.

Другие примеры, удовлетворяющие теореме Монжа, представлены на рис. 85.

Р

?

ассмотрим еще некоторые случаи пересечения поверхностей вращения:

• д

  ?

  ва цилиндра с параллельными осями пересекаются по ___________________(рис. 86,а);

• д

  ?

  ва конуса с общей вершиной пересекаются по ____________________________(рис. 86, б);

• с оосные поверхности пересекаются по _______________________(рис. 82).

Рис. 86

Лекция № 9

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1. Общие сведения. 2. Построение разверток многогранников. 3. Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей.

1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности с плоскостью. Построение разверток поверхностей широко применяется в технике при конструировании различных сооружений и деталей из листового материала. На развертке сохраняются длины линий, лежащих на поверхности, параллельность линий, величины углов между линиями и площади фигур, образованных замкнутыми линиями.

Способы построения разверток:

1. Способ триангуляции состоит в том, что развертываемая поверхность заменяется многогранной поверхностью, состоящей из треугольных граней, размеры сторон которых необходимо определить.

2. Способ нормальных сечений состоит в том, что развертываемую поверхность пересекают плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, и определяют длину линии нормального сечения. Затем эту линию разворачивают в прямую, а образующие поверхности – в перпендикулярные ее прямые. Линия нормального сечения принимается за базу отсчета размеров образующих.

3. Способ раскатки основан на вращении вокруг образующей или ребра развертываемой поверхности. Например, каждую грань призмы вращают вокруг ребра до положения, параллельного плоскости проекций. Последовательно поворачивая грани призмы, получают развертку боковой поверхности. Этот способ целесообразно применять для построения развертки поверхности призмы или цилиндра, если основания поверхности параллельны одной плоскости проекций, а ее ребра или образующие параллельны другой плоскости.