1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника

Для пружинного маятника, совершающего малые гармонические колебания под действием упругой силы F = - kx, а еще на него действует сила трения

,

(7.15)

где r - коэффициент сопротивления, ( - ) показывает, что направления силы трения и скорости противоположны.

Тогда уравнение движения маятника будет иметь вид:

,

(7.16)

Вспомним, что ²_о = k / m и обозначив r / m = 2 получаем

,

(7.17)

дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника, но его решение имеет вид:

,

(7.18)

где  = .

Добротность пружинного маятника:

	.	(7.19)
	.	(7.20)

2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре

Если в колебательном контуре R  0 , то дифференциальное уравнение свободного затухающего колебания заряда в контуре имеет вид:

,

(7.21)

сравнивая с уравнением + 2 + ²_о = 0 имеем

	,	(7.22)
	.	(7.23)

Решением (7.21) является функция:

,

(7.24)

a

,

(7.25)

<_о.

Если R = 0 , то  = _о =

Логарифмический декремент определяется так:

,

(7.26)

а добротность

.

(7.27)

C ростом  растет и период затухающих колебаний и при  = _о Т = = , колеблющаяся величина асимптотически приближается к 0, когда t  . Процесс перестает быть периодическим.

Оказывается возможно поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии в реальной колебательной системе. Особенно широко применяются автоколебания.

Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые в колебательной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, а свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии нужными порциями в нужный момент. Примером автоколебательной системы могут служить часы. Механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями.

Энергия, передаваемая при этом берется либо за счет раскручивающийся пружины, либо за счет опускающегося груза. Автоколебательными системами являются также ДВС, паровые турбины, ламповый генератор.

§8. Дифференциальное уравнение вынужденных механических и электромагнитных колебаний и его решение

Для того чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии. Это возможно с помощью периодически действующего, меняющегося по гармоническому закону фактора:

.

(8.1)

a) Для механических колебаний роль х( t ) играет внешняя вынуждающая сила:

.

(8.2)

Для электромагнитных колебаний - роль х( t ) играет внешняя (подводимая) к контактам ЭДС (напряжение). U ( t ) = U_o cos  t

Рассмотрим закон движения пружинного маятника:

,

(8.3)

преобразовав это уравнение получаем

.

(8.4)

б) Для электрического колебательного контура роль х( t ) играет проводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону ЭДС или напряжение (рис. 8.1):

Рис. 8.1. Колебательный контур, в котором возникают вынужденные электрические колебания.

	.	(8.5)
		(8.6)

Введем обозначения:

R / L = 2,

1 / LC = ²_о

.

(8.7)

Вынужденными механическими колебаниями или вынужденными электромагнитными колебаниями называются колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС.

.

(8.8)

уравнение описывающее вынужденные колебания величины S.

Решением этого уравнения является сумма решений однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

S_общее= S_{р. о. д. у.} + S_{ч. р. н. д. у.}

.

(8.9)

Решением однородного дифференциального уравнения является функция:

.

(8.10)

Частное решение уравнения (8.9) будем искать в виде:

.

(8.11)

Найдем и

= i  S_o e^it

= - ² S_o e^it,

и подставим выражения , , S в уравнение (8.9), получим

.

(8.12)

Равенство (8.12) должно выполнятся для любых моментов t.

_{Тогда  =  , а So (-2 + 2i + 2о ) = хо}

(8.13)

Представим S_o в комплексной форме:

S_o = А е^-i ,

тогда

	;	(8.14)
	;	(8.15)

S_{ч.р.н.д.у.} = A e ^{i( t -  )} или вещественная часть, являющаяся частным решением уравнения (8.9) имеет вид:

,

(8.16)

где А и  определяются формулами (8.14), (8.15).

Частным решением неоднородного уравнения (8.9) является функция:

	,	(8.17)
	,	(8.18)

полное решение уравнения (8.9).

Слагаемое S₁ играет существенную роль при установлении колебаний (в начальной стадии процесса), пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого (8.14).

Графически вынужденные колебания могут быть представлены так:

Рис. 8.2. Установление вынужденных колебаний.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой  и являются гармоническими, амплитуда и фаза колебаний определяются формулами (8.14) и (8.15) и зависят от .

Запишем формулы (8.14) и (8.15) применительно к механическим и электромагнитным колебаниям для установившегося режима: