Глава 18. Упругие волны §12. Волны. Плоская стационарная волна

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.

Вместе с волной от частицы к частице передается лишь состояние колебательного движения и его энергия.

Основное свойство всех волн не зависимо от их природы: перенос энергии осуществляется без переноса вещества.

Волны могут быть упругими, электромагнитными и на поверхности жидкости.

Упругими механическими волнами будем называть механические возмущения, распространяющиеся в окружающей среде.

Упругие механические волны делятся на продольные и поперечные.

В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В поперечных - в направлениях, перпендикулярных распространению волны. В жидкостях и газах возникают только продольные механические волны, в твердых телах - и продольные и поперечные механические волны.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания являются гармоническими.

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых дошли колебания в данный момент времени ( t ) .

Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс от области пространства, в которой колебания еще не возникли.

Волновой поверхностью можно назвать геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновых поверхностей существует бесконечно много, а волновой фронт для каждого момента времени один.

Волны, волновые поверхности которых представляют собой плоскости, называют плоскими. Если волновая поверхность имеет сферическую форму, волна называется сферической.

Через  – ( кси ) обозначим смещение частицы из положения равновесия. Тогда

 – будет график волны.

Рис 12.1. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника в данный момент времени.

Расстояние, на которое переместилась волна за 1 период, называется длиной волны.

,

(12.1)

но

;



.

(12.2)

§13. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость

Бегущей волной называется волна, которая переносит в пространстве энергию.

Тогда смещение всех частиц среды для бегущей волны будет:

.

(13.1)

Будем рассматривать плоскую волну, имеющую гармонический характер, распространяющуюся в положительном направлении оси х.

Пусть в начальный момент времени t смещение х = 0. Тогда

.

(13.2)

Пусть через время  плоская волна приходит в точку с координатой х, а распространяется со скоростью V.

Тогда:

	;	(13.3)
	;	(13.4)
	.	(13.5)

Уравнение (13.5) является уравнением плоской волны, распространяющейся в положительном направлении оси х.

Зафиксируем какое-либо значение фазы колебания. Пусть фаза колебания является постоянной.

Сначала выразим время t, а затем продифференцируем это выражение по времени:

	;	(13.6)
	;	(13.7)
	.	(13.8)

Из уравнения (13.8) следует, что V – скорость перемещения фазы волны (фазовая скорость).

	,	(13.9)
	.	(13.10)

Волновое число k определяется соотношением (13.11).

,

(13.11)

.

Распространение волн в однородной изотропной среде, в общем случаи, записывается уравнением в частных производных:

.

(13.12)

Уравнение (13.12) – волновое уравнение в частных производных.

,

(13.13)

где  – оператор Лапласа, .

Пусть r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. Тогда:

,

(13.14)

уравнение сферической волны.