§14. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Cреда называется линейной, если ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной.

Для линейных сред применим принцип суперпозиции (наложения) волн:

При распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто других волн не было, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Любую волну (согласно принципу суперпозиции и разложению Фурье) можно представить в виде суммы гармонических волн, или группы волн.

Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. Пусть простейший волновой пакет состоит из 2-x распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем d<<  и dk<< k.

Рассмотрим случай, когда в среде распространяется несколько волн одновременно. Тогда колебание частицы среды оказывается геометрической суммой колебаний, совершаемых каждой из всех волн в отдельности.

Волны называются когерентными, если разность фаз остается постоянной или изменяются по вполне определенному закону.

В результате наложения когерентных волн в разных точках пространства возникают максимумы и минимумы интенсивности, т.е. происходит перераспределение интенсивности.

	,	(14.1)
	.	(14.2)

Если cos ( ₂ - ₁) > 0 , то А² > А²₁ + А²₂

Если cos ( ₂ - ₁) < 0 , то А² < А²₁ + А²₂

	,	(14.3)
	.	(14.4)

§15. Стоячие волны

Рассмотрим наложение двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой.

Колебательный процесс, возникающий при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой, называется стоячей волной.

Падающая на преграду волна отражается от преграды и накладывается на бегущую ей навстречу волну.

Пусть ₁ = 0, ₂ = 0 . Тогда:

.

(15.1)

Первое из системы уравнений (15.1) – для колебаний в положительном направлении оси х; второе – для колебаний в отрицательном направлении оси х.

,

cледовательно

,

(15.2)

где – амплитуда стоячей волны.

В точках среды, для которых 2х /  кратен четному числу  / 2.

2х /  = 2m / 2 ( m = 0,1,2,...)

А_ст = | A_max | = | 2A |

В точках среды, для которых 2х /  кратен нечетному числу  / 2 :

2х /  = ( 2k + 1 ) /2

A_cт = | A_min | = 0

Точки среды, в которых амплитуды стоячей волны максимальны, называется пучностями, точки среды, в которых амплитуды стоячей волны минимальны, называются узлами.

2х_пучн. /  =  2m / 2,

	,	(15.3)
	,	(15.4)

х_пучн.1 - х_пучн.0 = /2 - 0 = /2

х_узл.1 - х_узл.0 = 3 / 2 -  / 4 =  / 2

Рис. 14.1. Стоячие волны

Если среда, от которой отражается стоячая волна, менее плотная, то вместо отражения получается пучность. Если наоборот – более плотная, то возникает узел. В случаи стоячей волны переноса энергии нет.