§11. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть имеются два гармонических колебания одинаковой частоты , происходящие во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у.

,

(11.1)

₂ – ₁ =  – 0 =  – разность фаз складываемых колебаний.

А и В – амплитуда складываемых колебаний.

Чтобы найти уравнение траектории результирующего колебания у=f (х) необходимо исключить зависимость от t в системе уравнений (11.1).

Пусть из (11.1)

х / А = cos t ;

у /В = cos ( t +  ) = cos t cos – sint sin ,

а

Подставив, получим:

.

Возведем это уравнение в квадрат.

;

;

.

(11.2)

Уравнение (11.2) – это уравнение траектории результирующего колебания. Это уравнение эллипса с произвольно ориентированными относительно координатных осей осями.

Если: 1)  = 2m/2 ( m = 0, 1, 2,...) то

,

	.	(11.3)
	.	(11.4)

Эллипс вырождается в отрезок прямой, где «+» соответствует 0 и четным значениям m (сплошная линия), а «–» нечетным значениям m (пунктирная линия). Результирующее колебание является гармоническими с частотой  и амплитудой:

.

(11.5)

Колебание совершается вдоль прямой : у =  х В / А , которая составляет с осью х угол 

.

(11.6)

Колебания называются линейно поляризованными.

Траектории взаимно перпендикулярных колебаний

Рис 11.1 – сплошная линия Рис 11.2 – пунктирная линия.

Если: 2)  = ( 2m + 1 ) (  / 2 ) ( m = 0, 1, 2,...) то уравнение имеет вид:

(11.6)

это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 11.3).

Если А = В, то эллипс вырождается в окружность. Такие колебания называются поляризованными по кругу или циркулярно-поляризованными.

Рис. 11.3

Если частоты складываемых, взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания имеем сложный вид и носит названия фигур Лиссажу. Ж. Лиссаж – (1822-1880) – французский физик (см. рис. 11.4.)

Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельным осям координат. По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Метод фигур Лиссажу используют для анализа соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний.

Рис. 11.4. Виды фигур Лиссажу

Вопросы для повторения

1. Какие колебания называются вынужденными?

2. По какому закону изменяется амплитуда вынужденных колебаний?

3. Какой зависимостью связаны: циклическая частота вынужденных колебаний, частота собственных свободных колебаний и коэффициент затухания?

4. Какое явление называется резонансом?

5. Какая величина называется статическим отклонением?

6. Что такое биения?

7. Когда они возникают?

8. По какому закону изменяется амплитуда биений?

9. Чему равен период биений?

10. Какова траектория точки, участвующей одновременно в дух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми периодами?

11. Какова траектория точки, участвующей одновременно в дух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковыми периодами и одинаковыми амплитудами?

12. Когда в качестве траектории при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний получается прямая?

13. Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношения частот складываемых колебаний?