- •Курс лекций по физике
- •3Й семестр
- •Колебания и волны
- •Механические и электромагнитные колебания Глава 17. Колебательные процессы §1. Гармонические колебания и их характеристики
- •§2. Кинематические характеристики гармонических колебаний и дифференциальное уравнение гармонических колебаний
- •Вопросы для повторения
- •§3. Энергия механических гармонических колебаний
- •§4. Гармонический осциллятор. Колебания пружинного, физического и математического маятников
- •1. Колебания пружинного маятника
- •2. Колебания математического маятника
- •3. Колебания физического маятника
- •§5. Фазовый портрет маятника. Адиабатический инвариант
- •Вопросы для повторения
- •§6. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре
- •§7. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение
- •1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника
- •2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре
- •§8. Дифференциальное уравнение вынужденных механических и электромагнитных колебаний и его решение
- •1) Механические колебания:
- •2) Электромагнитные колебания:
- •§9. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Вопросы для повторения
- •§10. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
- •§11. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •Вопросы для повторения
- •Глава 18. Упругие волны §12. Волны. Плоская стационарная волна
- •§13. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость
- •§14. Принцип суперпозиции. Групповая скорость
- •§15. Стоячие волны
- •Глава 19. Электромагнитные волны §16. Экспериментальное получение электромагнитных волн
- •§17. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн
- •§18. Энергия электромагнитной волны. Импульс электромагнитного поля
- •Вопросы для повторения
§7. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение
Свободными затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается.
Линейные системы - это идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются.
Линейными системами являются: пружинный маятник при малых растяжениях ( когда справедлив закон Гука ), колебательный контур ( у которого индуктивность, емкость и сопротивление не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения ).
Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями.
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний линейной системы имеет вид:
|
, |
(7.1) |
где S - колеблющаяся величина , описывающая тот или иной физический процесс ;
= const - коэффициент затухания;
о - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при = 0 ; о - называется собственной частотой колебательной системы.
Рассмотрим решение уравнения (7.1) в виде:
|
, |
(7.2) |
где U = U ( t ), найдем и .
|
, |
(7.3) |
|
. |
(7.4) |
Подставив (7.3) и (7.4) в (7.1) получим:
|
. |
(7.5) |
Решение уравнения (7.5) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен
;
;
|
, |
(7.6) |
то имеем
|
. |
(7.7) |
Решением уравнения (7.7) является функция: U = Ao cos ( t + )
Тогда решением уравнения (7.1) является функция
|
, |
(7.8) |
если затухание мало, (2 2о) то
|
, |
(7.9) |
амплитуда затухающих колебаний, Ао - начальная амплитуда.
Рис.7.1. График зависимости амплитуды затухающих колебаний как функция от времени
Промежуток времени, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации.
|
, |
(7.10) |
А = Ао e -t , Ао/A=e; - =1 => 1/ =
Затухающие колебания не являются строго периодическими, и понятие периода можно вводить только при малых затуханиях, как промежуток времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся физической величины.
С учетом этого:
|
. |
(7.11) |
Логарифмическим декрементом затухания () называется физическая величина числено равная логарифму натуральному отношению двух амплитуд, следующих друг за другом через период:
|
. |
(7.12) |
/ Ne = T.
В СИ [ ] = 1 - безразмерная величина, тогда из формулы связи :
|
. |
(7.13) |
[ Т ] = 1 с ,
[ ] = 1 / с = 1 с-1
- постоянная для данной колебательной системы величина.
Ne - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности Q, которая при << 0, равна:
|
. |
(7.14) |
[Q] = 1 – величина безразмерная
(так как 2 << о2, T = T0)
Добротность, это физическая величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания.
Учтем, что = Т = (1/)*(Т/1) = 1 / Ne, тогда Q = / = Ne = / То = о / 2
Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы (механических, электромагнитных)