17. Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.

Основная теорема алгебры Теорема Гаусса

Теорема Гаусса

Полином от комплексного, вообще говоря, переменного с комплексными, вообще говоря, коэффициентами имеет, по крайней мере, один, вообще говоря, комплексный корень.

Следствие 1. Многочлен с, вообще говоря, комплексными коэффициентами от, вообще говоря, комплексного переменного имеет ровно , вообще говоря, комплексных корней, пусть даже совпадающих.

Доказательство:

По теореме Гаусса существует, по крайней мере, один корень полинома . Пусть число – корень . Тогда по теореме Безу . Применим теорему Гаусса к многочлену и так далее. Получим . Покажем, что . Для этого перемножим скобки и сравним коэффициенты в левой и правой частях при . Получим требуемое. ■

Следствие 2. Если – корень многочлена с действительными коэффициентами, то также является корнем этого многочлена той же кратности.

Доказательство:

Для доказательства докажем лемму.

Лемма. Если – комплексные числа, то , .

Доказательство леммы:

Пусть , . Рассмотрим

Теперь,

. ▲

Перейдём к доказательству следствия. Рассмотрим . Пусть – корень уравнения. Тогда, используя лемму, получим . Так как – действительные, то , что означает, – корень уравнения .

Теперь покажем, что имеет ту же кратность, что и . Предположим обратное, т.е. имеет кратность , а кратность , . Пусть , тогда , где и не являются корнями . Рассмотрим . Заметим, что по теореме Виета, где , – действительные числа, причём . Тогда . Получим, что многочлен имеет корень , а, , по доказанному выше, корнем не является, противоречит условию. Таким образом, , т.е. и имеют одинаковую кратность. ■

Следствие 3. Если многочлен с действительными коэффициентами, причём , , то уравнение имеет, по крайней мере, один действительный корень.

Доказательство:

Так как комплексно сопряжённые корни имеют одинаковую кратность, а по следствию 1 многочлен имеет ровно , вообще говоря, комплексных корней, то, по крайней мере, одному корню не «хватает» пары. Следовательно, он действителен. ■

Следствие 4. Любой многочлен можно представить в виде , где – действительные корни кратности , а не имеют действительных корней (доказать самостоятельно).

Следствие 5. Пусть – правильная рациональная дробь. Тогда если , то

Доказательство этого следствия проиллюстрируем на примере.

Пример. Разложим дробь на сумму элементов дробей.

Решение:

.

Для нахождения неизвестных коэффициентов , , приравняем числители: . Получим отсюда:

. Тогда: .

18. Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.

Определение 1. Множество называется замкнутым относительно операции, если результат применения этой операции к элементам множества тоже оказывается элементом этого множества.

Примеры. Натуральные числа . Очевидно, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения , но незамкнуто относительно операций вычитания и деления, т.е. на этом множестве не всегда решаются уравнения типа и .

Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, умножения и вычитания, но по-прежнему не замкнуто относительно операции деления.

Непрерывность числовой оси..)Числовой осью называется прямая с выбранным на ней началом отсчёта, масштабом и направлением.

Теорема 1. Между точками числовой оси и действительными числами существует одно-однозначное соответствие (биекция).

Необходимость. Покажем, что каждой точке числовой оси соответствует действительное число. Для этого отложим масштабный отрезок единичной длины

раз так, что точка будет лежать левее точки , а точка уже правее. Далее отрезок поделим на частей и отложим отрезок и раз так, что точка будет лежать левее точки , а точка уже правее. Таким образом, на каждом этапе число , … Если эта процедура закончится на каком-то этапе, мы получим число (координату точки на числовой оси). Если нет, то назовём левую границу любого интервала «числом с недостатком», а правую – «числом с избытком», или «приближением числа с недостатком или избытком», а само число будет бесконечной непериодической (почему?) десятичной дробью. Можно показать, что все операции с рациональными приближениями иррационального числа определяются однозначно.

Достаточность. Покажем, что любому действительному числу соответствует единственная точка числовой оси. 

Определение 2. Если , то числовой промежуток называют сегментом, если , то числовой промежуток называют интервалом, если , то числовой промежуток называют полуинтервалом.

О пределение 3. Если в сегмент вложены сегменты   так, что , а , то такая система называется СВС (системой вложенных сегментов).

Определение 4. Говорят, что (длина сегмента стремится к нулю, при условии, что ), если .

Определение 5. СВС, у которой называется ССС (системой стягивающих сегментов).

Аксиома Кантора-Дедекинда: В любой СВС существует хоть одна точка, принадлежащая всем им сразу.

Так как рациональные приближения числа можно изобразить системой стягивающихся сегментов, то рациональному числу будет соответствовать единственная точка числовой оси, если в системе стягивающих сегментов будет единственная точка, принадлежащая всем им сразу (теорема Кантора). Покажем это от противного.

. Пусть и две такие точки, причём , . Т ак как, , то . Но, с другой стороны, , а, т.е. начиная с некоторого номера , будет меньше любой константы. Это противоречие и доказывает требуемое. ■

Таким образом, мы показали, что числовая ось непрерывна (не имеет «дырок») и больше никаких чисел на ней разместить нельзя. Однако, мы по-прежнему не умеем извлекать корни из любых действительных чисел (в частности из отрицательных) и не умеем решать уравнения типа .

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается sup X

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается inf X.