- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
«Вектор» от лат. vehere значит перемещать. Таким образом, вектор и этимологически и созерцательно, это прямолинейный направленный отрезок, результат перемещения точки А в точку В вне зависимости от количества промежуточных точек , ,…
Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
Определение 4. Рассмотрим параллельные лучи и , начинающиеся в точках и . Они всегда лежат в одной плоскости , которая делится прямой , проходящей через и , на две полуплоскости. Лучи и называются сонаправленными, если они лежат в одной полуплоскости, и контранаправленными в противном случае (рис. 2.3). В случае, когда и лежат на одной прямой, то они называются сонаправленными, если их пересечение есть луч и контранаправленными - если их пересечение не есть луч (рис. 2.4).
Вектором называется преобразование пространства , переводящее произвольную точку пространства в точку таким образом, что произвольная точка переходит в точку , точку , причем лучи и сонаправлены, а расстояние между точками и : равно расстоянию между точками и :
, т.е. .
Таким образом, направленный отрезок, о котором шла речь выше, можно рассматривать как модель вектора. Этот отрезок указывает, на какую величину и в каком направлении произошел сдвиг всего пространства.
Теорема1. Критерий линейной зависимости
Для того чтобы система векторов была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы существовали действительные числа , не равные нулю одновременно, такие, что . (1)
( ,…, – система линейно зависима) .
Доказательство:
Необходимость. Пусть система линейно зависима. Тогда по определению хотя бы один из векторов системы, например, , можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: . Прибавим к обеим частям равенства – , получим: .
Положим , , не все равны нулю одновременно, причем выполняется равенство (1).
Достаточность. Пусть существуют , такие, что . Среди чисел , по крайней мере, одно не равно нулю, например, . Тогда получим , что означает по определению линейную зависимость векторов ,…, . ■
Теорема 2. Критерий линейной независимости
Для того, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство (1) влекло за собой равенство нулю всех .
Доказательство:
Необходимость. Пусть ,…, линейно независимы. Предположим противное, т.е. что имеет место (1) и из него не следует . Тогда , а . По теореме 1 система ,…, линейно зависима, что противоречит условию.
Достаточность. Пусть равенство (1) влечет . Предположим, противное, т.е. ,…, линейно зависимые. Тогда по теореме 1 найдутся такие, что , что противоречит условию. ■
Пример. Доказать, что:
а) векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные;
б) векторы , , линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Доказательство:
а) Пусть . Если , то и коллинеарность и влечет линейную зависимость и .
Если и коллинеарные, то согласно признаку коллинеарности, существует такое , что , т.е. , , и линейная зависимость и очевидна.
б) Пусть , и компланарны. Если векторы и коллинеарные, то из доказанного следует при некоторых и таких, что . Но тогда , причем , т.е. , , линейно зависимы.
Пусть теперь компланарные векторы , , таковы, что и не коллинеарные. Тогда вектор можно разложить по базису : . Отсюда , причём , т.е. , , линейно зависимы.