- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
Теорема Лопиталя
Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки , причем , и . Тогда .
Доказательство:
Рассмотрим окрестность . (Рисунок) Выберем последовательность . Тогда, начиная с некоторого номера N, члены последовательности попадают в эту окрестность. Тогда, так как и , то функции и в точке имеют устранимый разрыв. Доопределим эти функции до непрерывности: , . Тогда на отрезке данные функции непрерывны и дифференцируемы на интервале . Таким образом, выполняются все условия теоремы Коши. Это значит, что
, где , или .
Перейдем к пределу при : ,
. ■
Замечание. Если не существует, то из этого не следует, что не существует .
Пример. Вычислим
, но не существует.
Пример. Вычислим . Применяя правило Лопиталя, получим .
Замечание. Теорема Лопиталя сформулирована для неопределенности типа и имеет место для неопределенностей типа
Теорема Лагранжа
Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда найдется точка .
Доказательство:
Введем вспомогательную функцию так, чтобы функция удовлетворяла теореме Ролля, т.е. :
, ,
.
Тогда ,
, . Таким образом, ■
Теорема Коши
Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем . Тогда такая, что .
Доказательство:
Докажем сначала, что . Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, значит, что . Отсюда .
Введем вспомогательную функцию так, чтобы она удовлетворяла условиям теоремы Ролля.
.
Тогда . Отсюда
.
Таким образом,
или . ■
Замечание. Теорема Коши является наиболее общей теоремой, т.е. теорема Ролля и Лагранжа являются следствиями из теоремы Коши.
Замечание. Геометрический смысл теоремы:
точка , в которой касательная к графику функции имеет такой же наклон, как и хорда, соединяющая точки и . (Рисунок)
.
Замечание. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Доказать формулу Тейлора.
Формула Тейлора
Можно заметить, что чем больше производных совпадают у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют (приближают) друг друга в окрестности этой точки. Нас будет интересовать приближение функции в окрестности одной точки с помощью многочленов. Рассмотрим многочлен степени : . Заметим, что . Так как , то
. Аналогично получим ,
.
Определение 1. Функция называется гладкой порядка в точке на интервале , если она имеет все производные порядка включительно, причем эти производные являются непрерывными функциями на отрезке . Этот факт обозначается .
Определение 2. Выражение вида
называется формулой Тейлора для функции в окрестности точки .
Теорема 1. Если функция является гладкой порядка в некоторой окрестности точки , то имеет место формула Тейлора для данной функции .
Доказательство:
Пусть имеет место формула Тейлора для функции : , причем
, , . Обозначим
.
Используя правило Лопиталя, покажем, что . Так как , …, , ,
тогда =
=…= . ■
Замечание. В формуле Тейлора первое слагаемое называют главной частью функции, а второе – остаточный член функции