32. Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.

Геометрический смысл производной обратной функции (рисунок)

Так как , где - угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , то .

Параметрическая Пусть . Говорят, что линия на плоскости задана параметрически, если ее точки имеют координаты . Таким образом, параметрическое задание данной линии равносильно ее явному заданию .

33. Доказать формулы для производных основных элементарных функций.

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена

1. Функция в окрестности точки имеет разложение , так как . Данное разложение позволяет вычислить .

2. Функция в окрестности точки имеет разложение , так как .

Аналогично имеют место следующие разложения:

3. ;

4. ;

5. .

34. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Геометрический смысл производной

Заметим, что в – угол наклона хорды , где , а б - угла наклона касательной, проведенной к графику функции . Если , то . Это значит, что . Таким образом, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

Геометрический смысл дифференциала

(рисунок)

Так как , то дифференциал функции равен . Таким образом, .

Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , .

Определение 1. Дифференциалом функции называется главная часть приращения и обозначается. . Дифференциалом аргумента (вне зависимости от переменной) называют его приращение . Таким образом, дифференциал функции равен . Тогда производная функции равна .

Физический смысл дифференциала

Пусть тело движется по закону . Тогда дифференциалом перемещения является то приращение расстояния за промежуток времени , пройденное со скоростью в промежутке . Таким образом, .

35. Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.

Функция называется первообразной функции на некотором интервале , если:

1. функция дифференцируема на ;

2. выполняется равенство .

3. Пример. Функция является первообразной для функции , так как .

Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции на интервале и обозначается , причем функцию называют подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, а - переменной интегрирования.

Восстановление функции по ее производной или отыскание неопределенного интеграла от подынтегральной функции, называют интегрированием этой функции. Это операция, обратная дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойства:

Теорема 1. .

Доказательство:

. ■

Теорема 2. .

Доказательство:

. ■

Теорема 3. (с точностью до константы).

Доказательство:

. ■

Теорема 4.

Доказательство:

Для доказательства возьмем производную от обеих частей равенства. ■

36. Доказать формулу интегрирования по частям.

Пусть , - функции, дифференцируемые , а функция - интегрируемая . Тогда интегрируема функция , причем имеет место равенство .

Доказательство:

Рассмотрим производную произведения функций и : . Тогда . Проинтегрируем обе части последнего равенства: . Так как , , , то . Таким образом, . 

37. Интегрирование ДРВ.

38. Доказать теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.

39. Доказать теоремы Ферма и Ролля.

Теорема Ролля

Пусть непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем .Тогда найдется точка .

Доказательство:

Так как функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает своих наибольшего и наименьшего значений (ТВГ, ТНГ).

Пусть , а . Тогда возможны два случая:

1. Если , то . Тогда .

2. Если , то пусть . Это значит, что на интервале , по крайней мере, в одной точке функция будет иметь экстремум, а по теореме Ферма . ■

Замечание. Все условия данной теоремы существенны. (рисунки – 3 шт.).

Теорема Ферма

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем - точка локального экстремума функции . Тогда .

Доказательство:

Для определенности пусть - точка локального экстремума, т.е. . Рассмотрим производную .

Так как , то получим, что . ■

Замечание. Теорема Ферма является необходимым условием экстремума. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Пример. Рассмотрим функцию . Производная функции равна нулю при , но эта точка не является точкой экстремума функции.

Пример. Для квадратичной функции абсцисса вершины параболы является точкой экстремума, а ордината - экстремумом функции. Исходя из этого, найдем координаты вершины параболы. Так как и , , то .