3. Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.

Определение 2. Базисом на плоскости будем называть всякую упорядоченную пару неколлинеарных векторов . Совокупность фиксированной точки плоскости и произвольного базиса на плоскости, приведенного к этой точке, называется аффинной системой координат (АСК) .

Теорема2. Пусть некоторая АСК на плоскости. Тогда любой вектор этой плоскости можно представить в виде , и при том единственным образом.

Доказательство:

Покажем существование разложения вектора . Совместим начало вектора с точкой .

Проведём через конец вектора прямые, параллельные и . Тогда – параллелограмм. Отсюда . Но векторы и коллинеарные, значит . Аналогично, векторы и коллинеарные, значит . Тогда .

Теперь докажем единственность разложения.

. Пусть существует два разложения по базису : и такие, что . Тогда или .

Если , то , что означает коллинеарность векторов и и противоречит условию.

Аналогично, если , то получим коллинеарность и , что противоречит условию. Таким образом, , . ■

Такое представление вектора называется разложением по базису , а числа и называются координатами в АСК . Вектор в этом случае можно записать так: .

Замечание. Если векторы базиса выбрать взаимно перпендикулярными и имеющими единичную длину, то такая АСК на плоскости носит название декартовой прямоугольной системой координат (ДПСК). Базисные вектора, входящие в ДПСК обозначают и (кратчайший поворот против часовой стрелки от к ).

На плоскости существуют и другие системы координат. Задавая на плоскости некоторую АСК, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел.

Определение 2. Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка произвольных некомпланарных векторов. АСК в пространстве называется совокупность фиксированной точки и некоторого базиса , приведённого к этой точке.

Теорема1. Пусть некоторая АСК в пространстве. Тогда любой вектор можно представить в виде , и притом единственным образом.

Доказательство:

Совместим начало вектора с началом координат точкой . Проведем через конец вектора две прямые:

• первую параллельно вектору до пересечения с плоскостью, в которой лежат и ;

• вторую параллельно плоскости, в которой лежат и , до пересечения с прямой, на которой лежит вектор .

Тогда – параллелограмм, следовательно, . Вектор лежит на плоскости, образованной векторами и . По теореме о разложении по базису на плоскости имеем .

Вектор коллинеарен вектору , следовательно, . Таким образом .

Нетрудно показать единственность разложения. ■

4. Скалярное произведение. Доказать его свойства.

Определение 1. Скалярным произведением векторов и называется операция (результат операции), ставящая в соответствии упорядоченной паре векторов и скаляр, равный произведению длин векторов на косинус угла между ними. .

Замечание.  Из определения скалярного произведения, следует, что .

Замечание.  Заметим, что . Если взять вектор такой, что , то . Таким образом, скалярное произведение одного вектора на другой, имеющий единичную длину, равно проекции первого вектора на направление, определяемое вторым. В этом заключается геометрический смысл скалярного произведения.

Замечание.  Механический смысл скалярного произведения. Если рассмотреть действия силы на материальную точку при её перемещении по вектору , то работа , совершаемая этой силой равна: .