- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
Определение 1. Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение одного из них с векторным произведением двух оставшихся .
Теорема 1. Критерий компланарности векторов
Векторы , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение .
Доказательство:
Пусть векторы , , .
Необходимость. Путь векторы , компланарны.
П о определению они лежат в одной или параллельных плоскостях. Совмести их начала, тогда все три вектора лежат в одной плоскости, отсюда . Следовательно, .
Достаточность. Пусть . Тогда либо , либо . Если , то векторы и коллинеарные, следовательно, векторы , , - компланарны.
Если , то вектор лежит в той же плоскости, что векторы и , т.е. , , - компланарны. ■
Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
Л юбая плоскость задаётся своей нормалью (вектором, ортогональным данной плоскости) и точкой , лежащей на этой плоскости.
Базовая задача:
Возьмём произвольную точку . Вектор лежит на плоскости . Так как , то . Тогда . Раскрывая скобки, получим . Обозначим . Тогда уравнение называют общим уравнением плоскости.
Уравнение прямой
1. Если на плоскости задана некоторая система координат, то прямую можно провести через точку перпендикулярно вектору , называемого
нормалью к данной прямой. Тогда, выбрав произвольную точку так, чтобы векторы и были перпендикулярны, получим уравнение прямой :
, .
Обозначим через . Тогда уравнение называется общим уравнением прямой .
2. Проведём прямую через точку параллельно вектору , который называют направляющим вектором прямой . Выберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда – каноническое уравнение прямой.
Из последнего уравнения также можно получить общее уравнение прямой , заметив, что векторы и перпендикулярны, причём , .
Другие уравнения прямой:
Теперь проведём прямую через точки и . В ыберем произвольную точку так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда уравнение задаёт прямую , проходящую через точки и .
Преобразуем последнее равенство:
; . Тогда уравнение также задаёт прямую , где:
- угловой коэффициент, причём ( - угол наклона прямой к оси );
- свободный коэффициент, равный длине отрезка, отсекаемого прямой от оси .
Определение эллипса. Доказать его свойства.
Эллипсом называется линия на плоскости, если найдётся такая ДПСК-2 (декартова прямоугольная система координат), в которой уравнение примет вид . и называют полуосями эллипса (для определённости ), – линейным эксцентриситетом, точки и – фокусами, а ось – фокальной осью. Величину , называемую эксцентриситетом эллипса, можно рассматривать как меру его вытянутости: чем больше , тем меньше отношение . Прямые , задаваемые , называют директрисами эллипса.