- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
Символ называют несобственным интегралом первого рода. При этом, если предел (2) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или равен ∞, то несобственный интеграл называют расходящимся.
Аналогично определяют несобственные интегралы первого рода на (-∞, b] и
(-∞, +∞).
, (3)
Заметим, что в (3) a и b стремятся к бесконечности независимо друг от друга.
Отметим также, что если функция f(x) непрерывна на [a, ∞), то (1) определяет одну из первообразных функций f(x), и при её нахождении можно использовать все методы интегрирования – замену переменных, интегрирование по частям и прочее.
Для
сходимости несобственного интеграла
необходимо и достаточно, чтобы для Vε>0
существовало такое A(ε)>0,
что для всех x’
и x”
больших A(ε)
выполнялось неравенство
<ε. (4).
Док-во.Согласно
критерию Коши функция F(x)
имеет предел при x→+∞
только в том случае, когда для Vε>0
существует A(ε)>0
такое, что для Vx’,
x”>
A(ε)
выполняется неравенство
. (5)
Пусть функция F(x) определяется формулой (1). Тогда (см. рис.)
= + =>
= . Отсюда ясно, что условие (5) совпадает с (4). Теорема доказанна.
Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Как уже отмечалось выше для неограниченной на отрезке [a, b] ф-и интеграл Римана смысла не имеет. Обобщим понятие определенного интеграла на ф-ю f(x) неограниченную на полуинтервале [a, b), но ограниченную и интегрируемую на любом отрезке [a, b-ε], 0<ε<a. Рассмотрим ф-ю F(ε)= . (1)
Перейдем в (1) формально к пределу при ε→0
F(ε)= = . (2).
Символ = называют несобственным интегралом 2-го рода. При этом, если предел (1) конечный, то несобственный интеграл 2-го рода называют сходящимся. Если предел бесконечный или не сущ., то расходящимся. Точку x=b называют особой.
Аналогично определяются несобственные интегралы 2-го рода, если особой точкой является левый конец отрезка [a, b] или внутренняя точка x=c отрезка [a, b].
= = ,
= ( + ). (3)
Величины ε1 и ε2 →0 независимо друг от друга.