- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Доказать существование второго замечательного предела.
Второй замечательный предел .
Доказательство:
Пусть . Положим . Тогда или . Имеет место неравенство . Так как , то . Из неравенства в силу того, что и имеем .
Теперь пусть . Положим . Теперь . Тогда .
Следствия
.
.
3, в частности, .
4. , в частности .
Доказательство (4):
.
5.
Доказательство (5):
.
Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
Непрерывность функции в точке
Определение 1Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется соотношение .
Определение 2
Функция непрерывна в точке , если .
Определение 2*
Функция непрерывна в точке , если .
Определение 3
Функция называется бесконечно малой в точке , если .
Определение 4
Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. , где .
Свойства непрерывных функций в точке
Теорема 1
Пусть функции непрерывны в точке . Тогда непрерывны в точке .
Доказательство:
Докажем непрерывность произведения в точке . Так как функции и непрерывны в точке , то можно представить , где - БМФ в точке . Тогда . Перейдем к пределу при . Получим .
Определение 5
Пусть функция определена в некото-
рой окрестности точки , а определена в некоторой окрестности точки . Тогда функция называется композицией функции или сложной функцией, а операция образования называется операцией композиции.
Замечание 1
Так как , то , т.е. для непрерывной функции знак функции и предела можно менять местами.
Теорема 2. О непрерывности композиции функций
Пусть функция непрерывна в точке ; функция непрерывна в точке , причем . Тогда непрерывна в точке .
Доказательство:
По условию . Рассмотрим .
Определение 6
Функции назы-
вают основными элементарными функциями. Функции, полученные из основных элементарных с помощью арифметических операций и операции композиции называются элементарными.
Теорема 3
Любая элементарная функция непрерывна на своей области определения.
Пример 1
Покажем непрерывность в любой точке числовой оси.
Доказательство:
Рассмотрим . Тогда , что значит . Мы воспользовались тем, что . Действительно, если , то при . Тогда при . Если же , то .
Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
Определение производной
Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то он называется производной функции в точке :
.
Геометрический смысл производной
Заметим, что в – угол наклона хорды , где , а б - угла наклона касательной, проведенной к графику функции . Если , то . Это значит, что . Таким образом, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .
Правила дифференцирования
Теорема 1. Пусть и - дифференцируемые функции в точке . Тогда:
;
;
, причем в некоторой окрестности точки .
Доказательство:
Докажем третье утверждение данной теоремы. Для этого рассмотрим приращение:
.
Найдем предел:
. Таким образом, . ■
Теорема 2.Пусть функция дифференцируема в точке и биективна (т.е. наша функция имеет обратную функцию ). Тогда обратная функция дифференцируема в точке , причем .
Доказательство:
Рассмотрим приращение функции , т.е. . Тогда .
Так как функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, следовательно, малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции . ■
Замечание. Геометрический смысл производной обратной функции (рисунок)
Так как , где - угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , то .
Замечание. Если растет быстрее в раз, то отстает на раз.
Теорема 3. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в точке , которая является образом точки . Тогда функция дифференцируема в точке , причем .
Доказательство:
По условию функция дифференцируема в точке , т.е. . Тогда, используя дифференцируемость функции в точке , получим . Подставим в : .
Найдем предел . ■
Определение 1. Пусть . Говорят, что линия на плоскости задана параметрически, если ее точки имеют координаты . Таким образом, параметрическое задание данной линии равносильно ее явному заданию .
Теорема 4. Пусть функции дифференцируемы в точке , тогда функция дифференцируема в точке , причем .
Доказательство:
Рассмотрим ,
. По условию функция дифференцируема в точке , следовательно, непрерывна в этой точке, значит, бесконечно малому соответствует бесконечно малое .
Таким образом, . ■