- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Свойства скалярного произведения:
Коммутативность: .
Доказательство: . ■
Унитарность: , причём тогда и только тогда, когда .
Доказательство: . ■
Однородность: .
Доказательство: . ■
Дистрибутивность: .
Доказательство: . ■
Векторное произведение. Доказать его свойства.
Определение 1. Рассмотрим некоторую произвольную тройку некомпланарных векторов , , , приведённых к точке . Тройка векторов , , называется правой, если для неё выполняется правило буравчика: глядя с конца вектора и , можно увидеть, что кратчайший поворот от к происходит против часовой стрелки.
Определение 2. Векторным произведением векторов называется операция (рез ультат операции), которая любой упорядоченной паре векторов и ставит в соответствие вектор , обладающий следующими свойствами:
;
из и ;
, , – правая тройка;
если и - коллинеарные, то = .
Замечание. Геометрический смысл векторного произведения двух вектор ов и состоит в том, что модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Замечание. Механический смысл векторного произведения. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор
идёт из некоторой точки О в точку М, то вектор представляет собой момент силы относительно точки О.
Свойства векторного произведения:
Антикоммутативность: .
Доказательство:
Положим , . По определению векторы и имеют одинаковую длину. Также в силу того, что оба вектора и ортогональны к плоскости, определяемой векторами и , вектор коллинеарен вектору . Тогда либо , либо . Если бы имело место первое равенство, то по определению, обе тройки , , и , , оказались бы правыми, но это невозможно. Итак, . ■
Однородность: .
Доказательство:
Положим , . Пусть векторы и не коллинеарные и . Обозначим и . По определению , .
Возможны два случая:
|
|
Рис. 2.30 |
В обоих случаях , тогда . Далее, заметим, что векторы и коллинеарные. Остаётся проверить, что эти векторы имеют одинаковое направление.
Пусть , тогда векторы , а значит и векторы . Итак, . ■
Дистрибутивность:
Доказательство:
Для доказательства приведём две леммы.
Лемма 1. Векторное произведение произвольного вектора плоскости на единичный вектор , ортогональный плоскости , поворачивает вектор на угол по часовой стрелке, если смотреть с конца вектор .
Доказательство:
По определению , причём вектор ортогонален векторам и , значит, он лежит на плоскости . Тройка векторов , , правая, следовательно, поворот от вектора к вектору совершается на по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора . ■
Лемма 2. Векторное произведение произвольного вектора на единичный вектор равно , где – геометрическая проекция вектора на плоскость , ортогональную вектору .
Доказательство:
П о определению векторного произведения векторы . Рассмотрим их модули: ;
Теперь вернёмся к доказательству дистрибутивности . Для простоты рассмотрим вместо вектора е го орт . Пусть векторы , , некомпланарные. Обозначим , – геометрические проекции векторов на плоскость ортогональному вектору . Тогда по лемме 2 имеем , причём вектор получен поворотом вектора на угол по часовой стрелке (по лемме 1).
Аналогично, и , причём векторы и получены поворотами векторов и на угол по часовой стрелке, соответственно. Тогда сумма даёт нам вектор , т.е. .
Таким образом, мы показали, что . Умножим обе части равенства на , получим: . ■