Доказать основные теоремы о пределах.
Критерий Коши существования предела.
Для
любого
,
найдется
,
зависящее от
,
такое что
,следовательно
,
что равносильно:
(1)
Доказательство:
Необходимость.
Пусть соотношение (1)
выполняется. Покажем, что для любой
последовательности
,
последовательность
стремится к
при
.
Выберем какое-нибудь
.
По
найдем
из неравенства
,
т.е. определим окрестность
.
Зная
,
можно найти номер
,
начиная с которого
попадает в
(
- коридор точки
).
Тогда в силу соотношения (1) имеем
.
Это означает, что выполняется соотношение
(**) для последовательности
,
т.е.
.
Достаточность.
Пусть существует
.
Покажем, что выполняется соотношение
(1). Воспользуемся методом от противного.
Пусть
соотношение (1) не выполняется, т.е.
.
Так
как
,
то выполняется соотношение (**), т.е.
найдется номер
,
начиная с которого
.
Так как
любое, то выберем в качестве
.
Тогда
.
По теореме о «двух милиционерах» при
.
Но тогда в силу определения 2
последовательность
,
т.е.
(имеет место соотношение (**)). Получили
противоречие.
Доказать свойства БМФ.
Бесконечно малые функции и их сравнение
Определение 1
Функцию
называют БМФ
в окрестности точки
,
если
.
Определение 2
Функцию
называют ББФ
в окрестности точки
,
если
,
т.е.
.
Если
- БМФ в точке
,
то
-ББФ в точке
.
Например, функция
в
является БМФ, а
- ББФ в точке
.
Определение 3
Пусть
- БМФ в окрестности
точки
.
Тогда:
-
называют бесконечно
малой более высокого порядка малости,
чем
,
если
и обозначают
;
-
и
называют БМФ одного
порядка малости, если
;
и называют эквивалентными,
если
и обозначают
при
.
Теорема 1
Если
при
,
то
.
Доказательство:
Рассмотрим
.
Теорема 2
Пусть
при
.
Тогда их разность
является бесконечно малой большего
порядка малости, чем каждая из них, т.е.
и
при
.
Доказательство:
Рассмотрим
.
Аналогично,
.
Замечание
Полученный результат позволяет все экви-
валентности
записать в виде: если
при
,
то
.
Например,
и т.д.
Определение 4
Представление
функции
в окрестности
точки
в виде
,
где
- некоторая константа, называется
выделением
главной части
функции, при этом
называется главной
частью функции
в
,
а
- порядок малости этой
функции.
Пример
Вычислить
.
Выделим главные части в каждом слагаемом
числителя и знаменателя:
,
,
,
.
Тогда
Доказать существование первого замечательного предела.
Первый
замечательный предел
.
Д
оказательство:
рис
.6.3
.
Тогда
.
Из рисунка видно, что
,
,
.
Тогда
.
Так
как
,
то
.
В силу того, что
,
получим
.
Это неравенство имеет место и для
,
т.к. функции
и
четные. Легко показать, что
.
Следствия
(
)
Доказательство (5):
.